Свойства умножения матрицы на число

1) " А : 1×А = А;

2) " α, β Î R, " А : (αβ)×А = α×(β×А) = β×(α×А);

3) " α Î R, " А, В : α×(А + В) = α×А + α×В;

4) " α, β Î R, " А : (α + β)×А = α×А + β×А.

Умножение матриц

Определим умножение двух матриц; для этого необходимо ввести некоторые дополнительные понятия.

Определение 3.14. Матрицы А и В называются согласованными, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Например матрицы А размерности m ´ n и В размерности n ´ p будут согласованными.

Обозначим строки матрицы А как А₁, А₂, …, А_m, а столбцы матрицы В как B¹, B², …, B^p. При этом в строке матрицы А столько же элементов, сколько в столбце матрицы В. Это условие позволяет умножать строку матрицы А на столбец матрицы В.

Умножим, например, А₁ на столбец B¹. Пусть А₁ = (а₁ а₂ … а_n), B¹ = тогда А₁×B¹ = (а₁ а₂ … а_n)× = а₁×b₁ + а₂×b₂ + … + а_n×b_n.

Пример 3.4. Умножим строку (1 2 3 4) на столбец .
(1 –2 3 4)× = (1×3 + (–2)×2 + 3×1 + 4×0) = (2).

Теперь можно определить умножение матриц.

Определение 3.15. Произведением согласованных матриц А размерности m ´ n и В размерности n ´ p называется матрица С = (с_ij) размерности m ´ p, для которой с_ij = А_i×B^j, где i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, p.

Обозначение: С = A×B = .

Пример 3.5. Найти произведение матриц А×В, где А = , В = .

Решение. Матрицы А_3´2 и В_2´4 согласованы, значит можно найти произведение этих матриц А×В, результатом будет матрица размерности 3 ´ 4. А×В = × =

= =