Свойства умножения матриц

1) Умножение матриц не коммутативно: A×B ≠ B×A.

Продемонстрировать данное свойство можно на примерах.

Пример 3.6. а) Пусть даны две матрицы: А = и В = . Перемножим матрицы A×B = × = = , получим матрицу размерности 2 ´ 1. Умножить матрицу В = В_2´1 на матрицу А = А_2´2 нельзя, так как эти матрицы не согласованные. Т. о. свойство коммутативности для умножения двух матриц не выполняется.

б) Возьмем две матрицы так, чтобы А и В были согласованы и чтобы также В и А были согласованные. Проверим, что при данных условиях свойство коммутативности также не выполняется. Пусть А = А_2´3 = и В = В_3´2 = , найдем их произведения.

A×B = × = = С_2´2;

В×А = × = = С_3´3.

2) Ассоциативность: (A×B)×С = А×(В×С).

3) Для любой квадратной матрицы А и согласованной с ней единичной матрицы Е справедливо равенство: A×Е = Е×A.

4) Дистрибутивный закон умножения матриц относительно сложения матриц: " А, В, С : (A + B)×С = (А×С) + (В×С) и A×(B + С) = (А×В) + (А×С).

Пример 3.7. Пусть даны матрицы А = , В = и С = проверим справедливость свойства 4.

(A + B)×С = + × = × = ;

(А×С) + (В×С) = × + × = + = .

5) " k Î R, " А, В : k(А×В) = (kА)×В = А×(kВ).