Определители матриц второго и третьего порядка
Каждой квадратной матрице А порядка n ставится в соответствие число, которое называется определителем этой матрицы. Обозначение: D, |A|, det A, .
Определение 4.1. Определителем матрицы первого порядка А = (а11) называется число а11.
Пример 4.1. Например: если дана матрица первого порядка А = (3), то определитель этой матрицы |A| = 3.
Определение 4.2. Определителем матрицы второго порядка А = называется число, которой находится по формуле: |A| = = а11а22– а12а21.
Пример 4.2.Если дана матрица второго порядка А = , то определитель этой матрицы |A| = = 1×4 – 2×3 = 4 – 6 = –2.
Определение 4.3. Определителем матрицы третьего порядка А = называется число, которой находится по формуле: |A| = а11а22а33 + а12а31а23 + а21а13а32 – а13а22а31 – а11а32а23 – а33а21а12.
Это число состоит из шести слагаемых, в каждое слагаемое в качестве множителей входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца. Для запоминания формулы можно воспользоваться наглядным правилом знаков для выписывания произведений, входящих в разложение определителя третьего порядка. Схема на рис. 4.1 называется правилом треугольника или правилом Саррюса[10].
Правило составления выражения для определителя третьего порядка строится следующим образом. Из членов, входящих со знаком «+», один будет произведением элементов главной диагонали, каждый из двух других – произведением элементов, лежащих на параллели к этой диагонали, с добавлением третьего множителя из противоположного угла матрицы (рис. 4.1). Члены, входящие со знаком «–», строятся таким же, образом относительно другой диагонали.
Существует еще вторая схема правила Саррюса: к определителю приписывают справа два первых столбца и вычисляют сумму произведений элементов расположенных на главной диагонали и «прямых», параллельных ей, со знаком минус вычисляют сумму произведений элементов, расположенных на побочной диагонали, и «прямых», параллельных ей.
= а11а22а33 + а12а23а31 + а13а21а32 – а13а22а31 – а11а23а32 – а12а21а33.
Пример 4.3. Если дана матрица третьего порядка А = , то определитель этой матрицы |A| = = 1×3×0 + 1×0×2 + (–5)×(–2)×(–2) – (–5)×3×1 – 1×2×(–2) –
– 0×0×(–2) = –20 + 15 + 4 = –1.
4.2. Определитель матрицы n-го порядка
Для того чтобы дать определение определителя произвольного порядка, введем некоторые понятия. Пусть аij – элемент определителя порядка n, где i, j = 1, 2, …, n.
Определение 4.4. Минором элементааij называется определитель Mij, полученный из данного определителя вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.
Из определения следует, что минор элемента – это определитель
(n – 1) порядка.
Определение 4.5. Алгебраическим дополнением элемента аij называется его минор, взятый со знаком (–1)i + j, т. е. Аij = (–1)i + j×Mij.
Для определения понятия определителя n-го порядка воспользуемся индукцией по n, где n – порядок матрицы A.
Определение 4.6.
1. При n = 1 матрица А состоит из одного числа: |A| = а11.
2. Пусть для матрицы порядка (n – 1) определитель известен.
3. Определителем матрицы А произвольного порядка n называется число, находящееся по формуле: |A| = , где суммирование распространяется на все элементы матрицы А.
Эта формула сводит вычисление определителей порядка n к вычислению определителей порядка (n – 1).
Дата добавления: 2022-04-12; просмотров: 162;