Вращательные движения твердого тела.

Вращательным движением называется такое движение твердого тела, при котором остаются неподвижными все (.), лежащие на некоторой прямой, называемой осью вращения.

φ В

1

А

Закрепляем 2 (.) тела А и В, прямая АВ будет осью вращения. Все остальные (.) тела движутся в плоскостях ┴ оси вращения, описывая окружности, центры которых лежат на этой оси.

Для определения положения вращения тела проводим через ось вращения z 2 полуплоскости: неподвижную полуплоскость 1 и подвижную 2, связанную с твердым телом и вращающуюся вместе с ним.

Двугранный угол φ между 2 мя полуплоскостями, отсчитываемый от неподвижной полуплоскости, называется угол поворота тела.

φ «+» если, смотря навстречу оси вращения, могли увидеть его отложенным против движения часовой стрелки и φ «-», если по ходу часовой стрелки. Измеряется φ в радианах.

(радианом называется центральный угол, длина дуги, которого равна радиусу. Числовое значение угла в радианах = отношению дуги к радиусу, то есть отвлеченное число).

360⁰ = 2 π рад. Один радиан составляет

Если тело совершило N оборотов , то угол поворота φ = 2πN.

Чтобы знать положение тела в любой момент, надо знать зависимость угла φ от времени.

φ = f(t) (2.4)

Уравнение (2.4) называется уравнением вращательного движения тела.

Основными кинематическими характеристиками вращающегося тела является его угловая скорость ω и угловое ускорение Е.

Если за промежуток времени ∆t =t₁ –t тело совершило поворот на угол ∆φ = φ₁ – φ, то средняя угловая скорость тела за этот промежуток времени будет численно равна.

ω_ср = (2.5)

Угловой скоростью тела в данный момент времени t называется к которой стремится значение ω_ср, когда ∆t → 0

ω = = φ (2.6)

Т.о угловая скорость равна в данный момент времени первой производной от угла поворота по времени.

Знак ω определяется направлением вращения тела.

ω = > 0 – Вращение в положительное направление.

ω = < 0 – Вращательное в отрицательном направлении.

Размерностью угловой скорости радиан/секунду или =с^-1 так как радиан величина безразмерная.

Угловую скорость тела можно изобразить в виде вектора ω, численная величина которого равна и который направлен вдоль оси вращения в ту сторону, откуда вращения видно происходящим против часовой стрелки.

	z

В

ω

Е

А

Угловое ускорение характеризует изменение угловой скорости тела с течением времени.

Если за промежуток времени ∆t = t₁ – t угловая скорость тела изменится на величину ∆ω = ω₁ – ω, то среднее угловое ускорение за этот промежуток времени

Е_ср = (2.7)

Угловым ускорением тела в данный момент времени t называется величина, к которой стремится значение Еср, когда ∆t → 0

Е = (2.8)

Итак, угловое ускорение тела в данный момент времени численно равной первой производной от угловой скорости по времени или второй производной от угла поворота по времени.

Размерность Е [рад/с²][с^-2]

>0, тело вращения ускорено.

<0, тело вращения замедленно.

Угловое ускорение можно изобразить в виде вектора Е, направленного по оси вращения.

Равномерное и равнопеременное вращение.

Если ω =const, то вращение равномерное.

Найдем закон равномерного вращения. Из формулы (2.6)

Имеем dφ =ωdt отсюда, считая, что в начальный момент при t=0 φ=0 и беря интегралы.

, получим φ=ωt (2.9)

Отсюда найдем ω= φ/t (2.10)

В технике скорость равномерного вращения определяют числом оборотов в мин, (n об/мин – частота вращения).

1 оборот – 2π

n - оборот – 2πn это за 1 мин.

ω =

Если Е- const, то вращение равнопеременное.

Найдем закон равнопеременного вращения.

(Начальный момент t=0 φ=0 ω=ω₀ нач. угловая скорость).

Из формулы (2.8) имеем dω=Е dt, интегрируя

(2.11) ω=ω₀+Еt или

= ω₀+Еt

dφ = (ω₀+Et)dt

Вторично интегрируя, найдем значение равнопеременного вращения.

φ =ω₀t (2.12)