Размещения. Упорядоченные множества

123 4

Определение: Множество вместе с заданным порядком расположения его элементов называется упорядоченным множеством. Если в упорядоченном множестве изменить расположение элементов, то мы получим другое, отличное от первого множество.

В комбинаторике конечные упорядоченные множества называются размещениями.

Число размещений из n элементов по m обозначают A_n^m (читают А из эм по эн).

При m = 0 по формуле получаем: A_n⁰ = 1.

Это верно: существует только одно пустое множество, оно является подмножеством любого множества.

Заметим еще, что 0! = 1; 1! = 1; и A_nⁿ = Р_n = n!
Пусть исходное множество состоит из букв (а, в, с). Ставится задача: посчитать количество размещений из трех элементов по два: A₃².

Будем составлять упорядоченные двухэлементные подмножества из данных трех элементов а, в, с.

Для наглядности составим таблицу, где и запишем все возможные подмножества.

	а	в	с
а	(а,а)	(а,в)	(а,с)
в	(в,а)	(в,в)	(в,с)
с	(с,а)	(с,в)	(с,с)

Размещения с повторениями – каждый элемент, входящий в комбинацию, может быть представлен более чем одним экземпляром (включая элементы диагонали таблицы).

Число возможных размещений из n различных элементов по m находятся по формуле:

В дальнейшем размещения без повторений мы будем называть одним словом – «размещения».

Размещение без повторений – каждый элемент, входящий в комбинацию, представлен единственным экземпляром (исключая элементы диагонали таблицы)

Будем составлять упорядоченные двухэлементные подмножества из данных трех элементов а,в,с. (а,в); (а,с); (в,с); (в,а); (с,а); (с,в).
На первое место можно поставить любой из трех элементов, это можно сделать тремя способами, на второе место – любой из оставшихся элементов, то есть двумя способами, всего получим 3 · 2 соединений,т.е. A₃² = 3 · 2 = 6.

Задача 1: Учащиеся 11-го класса изучают 9 учебных предметов. В расписании учебных занятий на один день можно поставить 4 различных предмета. Сколько существует различных способов составления расписания на один день?

Решение: Имеем 9-элементное множество, элементы которого учебные предметы. При составлении расписания мы будем выбирать 4-элементное подмножество и устанавливать в нем порядок. Число таких способов равно числу размещений из девяти по четыре, то есть A₉⁴: