Теорема (о непрерывности интеграла по верхнему пределу)

Теорема о множестве первообразных.

Если функция , определенная на интервале , имеет в данном интервале первообразную , то все первообразные выражаются формулой: . Другими словами, любые две первообразные данной функции отличаются друг от друга на константу.

Доказательство:

Пусть – первообразная для , т.е. . Предположим, что существует другая первообразная для , т.е. . Тогда или , следовательно, , т.е. .

Определение 2.

Пусть имеет в данном промежутке первообразную , так что .Тогда является одним выражением для всех первообразных, и называется неопределенным интегралом от данной функции , что обозначается

В этой формуле называется подынтегральной функцией, а называется подынтегральным выражением.

Важно понять, что неопределенный интеграл – это совокупность функций.

Так как действие интегрирования обратно по отношению к дифференцированию, то правильность интегрирования проверяется дифференцированием.

1.2. Свойства неопределенного интеграла

Прежде чем перейти к основным свойствам неопределенного интеграла, отметим (пока без доказательства) теорему о существовании первообразной, а, следовательно, и неопределенного интеграла у непрерывной функции.

Теорема о существовании первообразной и неопределенного интеграла у непрерывной функции.

Если функция(непрерывна на интервале), то на существует первообразная для данной функции и неопределенный интеграл.

Из определения 2 вытекают следующие 2 свойства:

Свойство 1.

Тот факт, что можно переписать в виде или, в дифференциалах, из условия, что , следует, что , т.е. производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, или дифференциал от интеграла равен подынтегральному выражению.

Свойство 2.

, т.е. интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс постоянная.

Эти два свойства означают, что стоящие рядом знаки и d взаимно «сокращаются» (в последнем случае следует лишь добавить const).

Отметим ещё одно важное свойство неопределенного интеграла.

Свойство 3. (свойство линейности неопределенного интеграла).

Это свойство проверяется дифференцированием левой и правой части равенства с использованием свойств линейности операции дифференцирования.

1.3. Таблица основных интегралов

Эта таблица получена как результат обращения таблицы производных основных элементарных функций.

1. ;;

2. ;

3. ; ;

4. ;

5. ;

10. ,«длинный логарифм»

11. , «высокий логарифм»

12.

13.

14.

15.

16.

17.

Пример:

1.4. Методы интегрирования

1.4.1. Интегрирование подстановкой

Пусть функция непрерывна и дифференцируема на некотором интервале, а функция имеет первообразную , т.е. , тогда функция имеет первообразную , т.е.:

(1.1)

Доказательство формулы (1.1) непосредственно следует из правила дифференцирования сложной функции:

т.е. функция имеет своей первообразной функцию , что и доказывает формулу (1.1).

Пример:

Часто бывает целесообразно применять подстановку в виде , где – дифференцируемая функция и , причем функция легко интегрируется, т.е. интеграл легко вычисляется. Тогда .

Пример:

1.4.2. Подведение под знак дифференциала.

Непосредственно с методом подстановки связан прием, называемый подведением функции под дифференциал. Этот метод следует из формулы (1.1)

, который вычисляется.

Пример:

1.4.3. Использование свойства линейности интеграла.

Свойство линейности означает, что постоянные можно выносить за знак неопределённого интеграла, а интеграл от суммы функций равняется сумме интегралов от слагаемых.

Пример:

1.4.4. Интегрирование по частям.

Рассмотрим дифференцируемые функции и , тогда справедлива следующая формула:

, (1.2)

называемая формулой интегрирования по частям. Формулу (1.2) можно записать и по-другому:

(1.2’)

Докажем формулу (1.2). Для этого найдем дифференциал произведения :

Проинтегрируем полученное равенство:

или или , ч.т.д.

Эта формула сводит вычисление интеграла к вычислению интеграла , который в ряде случаев вычисляется проще, чем первый. С помощью формулы (1.2) вычисляются интегралы, содержащие произведения функций, различных по своей природе. Например:

и т.п.

Примеры:

Отсюда .

В примере 2 после повторного применения формулы (1.2) получается исходный интеграл с некоторым коэффициентом. Из полученного относительно уравнения находим исходный интеграл. Подобным образом считаются интегралы и другие.

3) Примером на повторное применение формулы интегрирования по частям и возвращением к исходному интегралу может служить часто встречающийся интеграл , который можно в дальнейшем отнести к табличным:

1. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

2.1. Сведения из алгебры

1. Всякий многочлен степени n

(2.1)

имеет ровно n корней в поле комплексных чисел, с учетом их кратности.

2.Если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень кратности β, то и сопряженное число является корнем многочлена кратности β.

3.Любой многочлен , имеющий действительные корни кратности и комплексные корни кратностей , может быть представлен в виде:

Т.к.

, где то можно окончательно записать:

, (2.2)

где – степень .

4.Любой приведенный квадратный трехчлен с комплексными корнями, т.е. с дискриминантом приводится к сумме квадратов, т.е.:

где .

5.Любой многочлен будем называть целой рациональной функцией. Дробно-рациональной функцией назовем отношение двух многочленов – т.е. функцию вида:

причем дробно-рациональную функцию назовем правильной рациональной дробью, если , и неправильной,если . Любую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы целой функции и правильной дроби. Это достигается делением рационального числителя на знаменатель до тех пор, пока степень остатка не станет меньше степени знаменателя.

Пример:

6. Простейшими дробями назовем дроби следующих четырех типов:

§ дробь I-го типа: ;

§ дробь II-го типа: ;

§ дробь III-го типа: ;

§ дробь IV-го типа: ;

где многочлен имеет комплексные корни, а .

7. Теорема о разложении правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Любая правильная рациональная дробь с вещественными коэффициентами и знаменателем вида (2.2) представляется, и единственным образом, в виде суммы простейших дробей:

Пример:

Коэффициенты найдем, приведя правую часть к общему знаменателю и применяя метод неопределенных коэффициентов, т.е. сравнивая числители полученных дробей и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х:

2.2. Интегрирование рациональных функций

1.Интегрирование целых рациональных функций производится по таблице интегралов, т.е.:

2.Интегрирование неправильной рациональной дроби сводится к интегрированию целой рациональной функции и правильной дроби. Всякая же правильная дробь согласно теореме представима в виде суммы простейших дробей, так что задача сводится к интегрированию простейших дробей. Рассмотрим интегрирование простейших дробей:

Дробь I типа: ;

Пример:

Дробь II типа: ;

Пример:

Более громоздкие вычисления придется провести в случае интегрирования дроби III-го типа:

т.е. интегрирование дробей третьего типа сводится к выделению в числителе выражения, равного производной от знаменателя, и выделению полного квадрата в знаменателе. Интегрирование простейшей дроби III-го типа всегда дает линейную комбинацию логарифма и арктангенса.

Пример:

.

С дробью IV-го типа поступим следующим образом:

Первый из интегралов – табличный, второй же элементарными преобразованиями может быть приведен к виду

,

который мы и проинтегрируем, используя уже известный метод интегрирования по частям:

где

т.е.

Получена рекуррентная формула, позволяющая понизить степень знаменателя. Последовательное применение этой формулы позволяет интеграл IV-го типа свести к интегралу от простейшей дроби III-го типа.

Итак, результатом интегрирования дробно-рациональных функций являются элементарные функции – , и рациональные функции.

Пример:

2.3. Метод Остроградского

Михаил Васильевич Остроградский (1801-1861) предложил остроумный способ интегрирования правильной рациональной дроби , удобный, когда знаменатель имеет кратные корни, особенно комплексные. Способ разложения на простейшие в этом случае связан с громоздкими выкладками.

Отметим сначала, что при интегрировании дробей I и III типов получаем логарифмы и арктангенсы, т.е. нерациональные функции. Интеграл от дроби II-го типа есть правильная рациональная дробь, со знаменателем вида ( ) в степени ( ). Наконец, интеграл IV-го типа применением рекуррентных соотношений приводится к правильной рациональной дроби, со знаменателем, равным трехчлену в степени ( ) и интегралу типа , приводящему к арктангенсу. После этого можно сделать вывод о том, чему будет равна рациональная часть интеграла от правильной рациональной дроби: это будет сумма правильных рациональных дробей со знаменателями: .

Указанная сумма будет правильной дробью со знаменателем вида:

.

Сумма тех простейших дробей, интегралы от которых приводят к нерациональным функциям, будет правильной рациональной дробью со знаменателем вида:

.

Таким образом, искомая формула Остроградского имеет следующий вид:

Для отыскания многочленов и их записывают с неопределенными коэффициентами, которые находят дифференцированием формулы Остроградского.

Пример:

Продифференцируем обе части равенства:

т.е.

2.4. Различные способы нахождения неопределенных коэффициентов

2.4.1 Метод частных значений.

Этот метод разложения правильной дроби на простейшие удобно применять в том случае, когда корни знаменателя действительны и различны (кратности 1).

Пример:

Коэффициенты находятся следующим образом:

2.4.2. Классический метод неопределенных коэффициентов.Если среди корней знаменателя нет ни одного действительного, то можно воспользоваться сравнением коэффициентов при равных степенях переменной.

Пример:

так как

2.4.3. Комбинированный метод.Этот метод удобен, когда среди корней знаменателя есть хотя бы один действительный корень.

Пример:

.

Подынтегральная функция разложена на простые дроби следующим образом:

Применяя метод частных значений (п. 2.4.1), найдем B и C:

Остальные коэффициенты найдем, применяя классический метод неопределенных коэффициентов (см. п. 2.4.2):

.

2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ

3.1. Интегрирование тригонометрических выражений

3.1.1. Универсальная тригонометрическая подстановка.

Пусть , R – рациональная функция. Введем переменную , выразим подынтегральное выражение через t, учитывая формулы тригонометрии:

Пример:

3.1.2. Интегралы от тригонометрических функций специального вида.

Интеграл вида заменойможно свести к интегрированию рациональной функции. Аналогично, для интеграла удобно применить замену , а для интеграла – замену .

Пример:

3.1.3. Интегрирование произведений степеней синусов и косинусов одинакового аргумента:

§ Если одно из чисел m или n – целое, нечетное, т.е. или , то следует отделить тригонометрическую функцию в четной степени, а оставшуюся внести под знак дифференциала. Также нужно учитывать, что

Пример:

§ Если m и n – целые, четные, т.е. , то следует воспользоваться формулами понижения степени:

Пример:

3.1.4. Интегрирование произведений синусов и косинусов кратных аргументов.

Пример:

Вычислить интеграл:

3.1.5. Тригонометрические подстановки в интегралах, содержащих корень квадратный из квадратного трехчлена.

Рассмотрим квадратный трехчлен , . Выделяя «полный квадрат», получим:

§ Если , то

и интеграл преобразуется к виду:

В этом случае удобно сделать замену: или или .

§ Если , то

Сделать замену: или или .

§ Если ; , то

Сделать замену: или или .

Примеры:

Вычислить интеграл:

1)

2)

Переменная t найдена следующим образом:

Решаем квадратное уравнение относительно :

Окончательно

3)

Такой заменой интеграл свёлся к интегралу от рациональной функции косинуса. Удобнее применить другую подстановку:

Действуя, как в предыдущем примере, получим:

Замечание.

При интегрировании выражений, содержащих гиперболические функции, удобно пользоваться следующими формулами, которые в каком-то смысле являются аналогами тригонометрических:

– гиперболическая единица.

Сравните с – тригонометрической единицей. А также сравните формулы понижения:

с ,

с ,

с .

3.1.6. Интегрирование выражений, содержащих иррациональности.

Для интегралов, содержащих дробно-линейные иррациональности, ниже приведена рекомендуемая схема замен, приводящих подынтегральную функцию к рациональному виду.

Для — ,

для — ,

для — ,

для — ,

где .

Примеры:

1)

2)

3)

Во всех приведенных примерах осталось проинтегрировать рациональные дроби.

Перейдем к интегралам, связанным с квадратным корнем из квадратного трехчлена. Выше было показано, что выражение приводится к сумме или разности квадратов, поэтому интегралы вида

или

сводятся, соответственно, к

или ,

которые либо являются табличными, либо уже рассматривались.

Пример:

В интегралах вида полезно в числителе выделить производную от подкоренного выражения.

Пример:

.

Интегралы вида сводятся к рассмотренным случаям заменой .

Пример:

В интегралах вида в некоторых частных случаях применяются так называемые подстановки Эйлера.

Если имеет комплексные корни, то замена , называемая I-ой подстановкой Эйлера, сводит подынтегральное выражение к рациональному.

Действительно,

Подставим это выражение:

Теперь вычислим дифференциал

Тогда

– рациональная функция от t.

II-ая подстановка Эйлера или применяется, если имеет различные вещественные корни , то есть

.

Пример:

.

Так как , сделаем подстановку , тогда и .

3. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

4.1. Задача определения площади криволинейной трапеции

Рассмотрим задачу о вычислении площади плоской фигуры, ограниченной плоской кривой , определенной, непрерывной и неотрицательной на некотором отрезке , ограниченной отрезком и прямыми , .

Рис. 4.1

Разобьем произвольным образом на n отрезков длины , . На любом отрезке произвольно выберем точку и на отрезке, как на основании, построим прямоугольник высотой . Площадь одного такого прямоугольника равна . Суммарная площадь всех построенных прямоугольников приблизительно будет равна искомой площади криволинейной трапеции aABb:

(4.1)

Обозначим через . Будем увеличивать число разбиений, одновременно устремляя к нулю. Тогда сумма (4.1) будет все точнее выражать площадь криволинейной трапеции. Представляется естественным за искомую площадь принять предел суммы (4.1) при и , т.е.:

(4.2)

4.2. Определенный интеграл как предел интегральной суммы

Определение 1. Интегральная сумма.

Рассмотрим функцию , определенную и непрерывную на . Разобьем произвольным образом на n частей точками и на каждом полученном отрезке произвольно выберем точку и вычислим значение функции в это точке. Составим сумму,

(4.3)

называемую интегральной суммой для функции на отрезке .

Определение 2. Разбиение отрезка.

Совокупность точек деления отрезка и промежуточных точек будем называть разбиением отрезка, и обозначать буквой Т.

Каждому разбиению соответствует определенная интегральная сумма. Интегральная сумма есть функция, определенная на множестве разбиений.

Обозначим через – диаметр разбиения. Устремим , , тогда и все , и возьмем предел интегральной суммы (4.3) :

Определение 3. Определенный интеграл.

Определенным интеграломот функции на отрезке называется предел интегральной суммы (4.3) при и в предположении, что этот предел существует и не зависит от разбиения Т отрезка , т.е. от выбора точек и , что записывается так:

(4.4)

Очевидно, что определенный интеграл – это число (в отличие от неопределенного).

Определение 4. Интегрируемая функция.

Если у функции , определенной на отрезке , существует определенный интеграл, то она называется интегрируемой на отрезке .

4.3. Теорема существования определенного интеграла

Напомним, что функция называется кусочно-непрерывнойна , если этот отрезок можно разбить на конечное число частей, на каждой из которых функция непрерывна. Теорема существования формулируется так:

Если функция ограничена и кусочно-непрерывна на , то она интегрируема на этом отрезке.

Следствие.

Интегрируемость непрерывной функции является частным случаем этой теоремы.

Приведем пример неинтегрируемой на отрезке функции.

Пример:

Рассмотрим функцию Дирихле

Выбираем произвольное разбиение отрезка . В каждом существует хотя бы одна рациональная точка. Если ее брать за , то интегральная сумма будет равна . На тех же найдутся и иррациональные точки, тогда интегральная сумма, отвечающая данному выбору , будет равна нулю. В этом случае предел интегральной суммы не существует.

4.4. Свойства определенного интеграла

1.Если и , то есть площадь криволинейной трапеции.

2. , т.к. все .

3. , т.к. интегральная сумма имеет вид .

Интеграл от единицы равен длине отрезка интегрирования.

4. , т.к. все меняют знак, если разбиение отрезка начинать от точки b.

5. Свойство линейности определенного интеграла.

, если функции и интегрируемы на .

Доказательство:

Составим интегральную сумму для функции :

.

Переходя к пределу при и в интегральных суммах, получим требуемое равенство.

6. Свойство аддитивности определенного интеграла.

Если , то .

Доказательство:

Для доказательства составим интегральную сумму для всего отрезка и сумму , добавив лишь новую точку деления с, если ее не было в сумме . Тогда вместо одного слагаемого в интегральной сумме появятся два новых; но т.к. каждое слагаемое суммы стремится к нулю при , то если одна из