Пример ручного счета в обычной формулировке.

Дана система уравнений

Выполним проверку выполнения достаточного условия сходимости.

Проверяем условие диагонального преобладания.

первое уравнение: 4>1+1=2 – выполняется;

второе уравнение: 2<1+5=6 – не выполняется;

третье уравнение: |–1|<1+6=7 – не выполняется.

Таким образом, условие диагонального преобладания для исходной системы уравнений не выполняется и поэтому не может быть гарантирована сходимость итерационных методов к решению. Для данной системы можно добиться выполнения этого условия перестановкой второго и третьего уравнений:

Проверяем условие диагонального преобладания для преобразованной системы:

первое уравнение: 4>1+1=2 – выполняется;

второе уравнение: 6>1+|–1|=2 – выполняется;

третье уравнение: 5>1+2=3 – выполняется.

Для определения точности приближения воспользуемся нормой вектора

– максимум модуля для элементов вектора.

Решение СЛАУ методом простой итерации.

Схема пересчета в данном случае имеет вид:

Начальное приближение: .

Первый шаг итерации ( ):

.

Второй шаг итерации ( ):

.

Третий шаг итерации ( ):

После трех итерационных шагов получаем приближенное решение СЛАУ: .

Решение СЛАУ методом Зейделя.

Схема пересчета в данном случае имеет вид:

Начальное приближение: .

Первый шаг итерации ( ):

.

Второй шаг итерации ( ):

Третий шаг итерации ( ):

После трех итерационных шагов получаем приближенное решение СЛАУ: .

При том, что точное решение данной СЛАУ: , – отметим большую точность решения, полученного методом Зейделя, по сравнению с методом простой итерации за одинаковое количество итерационных шагов.