Свойства определённого интеграла

Перейдем к изучению простейших свойств определенного интеграла.

Свойство линейности. Сумма интегрируемых функций есть интегрируемая функция и произведение интегрируемой функции на число есть также интегрируемая функция. Более того, если интегрируемы, то для любых чисел линейная комбинация также интегрируема на отрезке и

Равенство (4) эквивалентно двум правилам: 1) интеграл от суммы функций равен сумме интегралов и 2) постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Это свойство следует из соответствующих свойств предела – предел суммы равен сумме пределов и постоянный множитель можно вносить за знак предела.

Изменение ориентации. Равенство справедливо вне зависимости от расположения точек и на числовой прямой.

Аддитивность интеграла.Пусть . Тогда функция интегрируема на отрезке в том и только том случае, когда она интегрируема на и на . В этом случае

Если точки расположены произвольно на числовой прямой и каждый из интегралов в (5) существует, то равенство (5) имеет место.

Монотонность интеграла. Если для всех и , то
.