Определение определенного интеграла

Пусть функция определена на отрезке и неотрицательна. Фигура, заданная неравенствами называется криволинейной трапецией (см. рис. 1). Вычислим площадь криволинейной трапеции. Идея вычисления состоит в том, чтобы нарезать эту трапецию на узенькие вертикальные полоски, площадь каждой полоски считать как площадь прямоугольника, а затем сложить получившиеся результаты. Мы получим приближенный ответ. Для получения точного ответа надо брать полоски все уже и уже и перейти к пределу, когда максимальная ширина полоски стремится к нулю. Вычислим таким образом площадь под экспонентой , если . Возьмём равномерное разбиение отрезка [a,b]:

;

Тогда заменяя каждую полоску на прямоугольник с высотой равной значению экспоненты в левом конце основания полоски, получим суммарную площадь всех полосок, очевидно превосходящую площадь криволинейной трапеции под экспонентой:

Здесь использована формула суммы геометрической прогрессии, а также эквивалентность бесконечно малых при . Так как функция e^x непрерывна, то доказано, что S=e^b-e^a.

Пример. Вычислим площадь под параболой на отрезке ( ). Возьмем разбиение вида (1) этого отрезка, а отмеченные точки выберем так:

Ясно, что , ибо , что в свою очередь эквивалентно

Тогда интегральная сумма вычисляется просто:

и предел этих интегральных сумм как предел константы равен . Это и есть площадь под параболой .

Перейдем к точным определениям. Разбиением отрезка называется семейство точек таких, что

Параметром разбиения (обозначим его ) называется наибольшее из приращений когда индекс пробегает от 1 до n. Пусть - функция, определенная на отрезке и - какие-либо точки из отрезков которые назовем отмеченными. Тогда

называется интегральной суммой.

Определение. Определённым интегралом функции на отрезке называется предел интегральных сумм, если параметр разбиения стремится к нулю:

Это значит, что определенный интеграл есть такое число , что для любого сколь угодно малого найдется такое (зависящее от ), что для любого разбиения (1) с параметром интегральная сумма отличается от меньше чем на :

Функция называется подынтегральной, называется подынтегральным выражением. Число называется нижним пределом интегрирования, а – верхним пределом интегрирования.

Распространим понятие интеграла на случай отрезка, вырождающегося в точку, полагая по определению . Распространим понятие интеграла также на тот случай, когда нижний предел больше верхнего; считаем по определению

Необходимым условием существования интеграла является ограниченность функции на отрезке . Действительно, если функция неограничена, например, сверху, то при любом разбиении, каков бы ни был малый его параметр, найдутся отмеченные точки такие, что интегральная сумма (2) больше чем любая наперед заданная величина. Следовательно, конечного предела интегральные суммы иметь не могут.