Частотные показатели качества

Частотные показатели качества определяются по частотным характеристи-

кам системы и в частности по амплитудно-частотной характеристике замкнутой

системы и амплитудно-фазо-частотной характеристике разомкнутой системы.

Нормированная амплитудно-частотная характеристика замкнутой системы рис.

4.5 дает следующие показатели качества:

Рис. 4.5

1. Показатель колебательности ;

2. Резонансная частота системы ;

3. Частота среза, при которой

4. Частота пропускания ;

5. Эквивалентная частота пропускания ω∋

Показатель колебательности М характеризует запас устойчивости системы, чем выше показатель колебательности, тем меньше запас устойчивости. Допустимое значение М выбирается из условия М < 1,1-1,5. Быстродействие системы оценивается по частоте пропускания, чем выше частота пропускания, тем больше быстродействие системы. Использование АФЧХ разомкнутой системы позволяет оценить запас ус-

тойчивости системы на основании запаса устойчивости по амплитуде (модулю) А и фазе ϕ . Эти показатели связаны с критерием устойчивости Найквиста.

Рассмотрим АФЧХ устойчивой системы в окрестностях точки (-1, 0 ) рис .4.6

Рис 4.6.

Для общего случая условной устойчивости (рис. 4.6) запас устойчивости

определяется двумя точками а и с по выражениям

В хорошо демпфированных системах эти величины составляют примерно 6-20 дб, что соответствует 2-10 кратному уменьшению коэффициента усиления системы.

Для абсолютно устойчивых систем L2 →∞ и оценку запаса по модулю производят по L1 Запасом устойчивости по фазе ϕ называется выражение ϕ=180+ψ(ωC) ,

где ψ - аргумент АФЧХ, соответствующий модулю АФЧХ равному 1 (точка b на рис. 4.6). В хорошо демпфированных системах запас по фазе составляет 30 - 600.

Зная частотные характеристики системы можно вычислить их временные характеристики, используя преобразование Фурье.

Можно записать

где L−1,Φ−1 - обратные преобразования Лапласа и Фурье.

Переходя к вещественной форме интеграла Фурье, получим

Подставляя сюда W(jω)=U(ω)+ jV(ω), и выделяя мнимую часть, найдем

Для систем невысокого порядка все критерии и показатели качества связаны между собой. Рассмотрим это утверждение на примере колебательного звена с передаточной функцией

Корни характеристического уравнения найдем из условия

T2 p2 +2ξTp+1=0.

Откуда

Следовательно, степень устойчивости и степень колебательности для такого звена будут равны

Переходную характеристику звена найдем путем обратного преобразования Лапласа-Карсона от передаточной функции

Максимальные значения вычисляются по следующей формуле:

Перерегулирование будет равно:

Время переходного процесса tΠ найдем из условия, при котором .

Амплитудно-частотная характеристика звена будет равна модулю частотной передаточной функции

Максимальное значение AM найдем из уравнения

Откуда показатель колебательности М найдем из отношения: