Нелинейные системы. Виды нелинейноетей и их математическое описание Особые точки и фазовые портреты нелинейных систем

Нелинейной системой автоматического регулирования называется такая система, которая содержит хотя бы одно звено, описываемое нелинейным уравнением. Перечислим виды нелинейных звеньев;

1) звено релейного типа;

2) звено с кусочно-линейной характеристикой;

3) звено с криволинейной характеристикой любого очертания;

4) звено, уравнение которого содержит произведение переменных или их производных и другие их комбинации;

5) нелинейное звено с запаздыванием, а нелинейность может иметь любой вид;

6) нелинейное импульсное звено;

7) логическое звено;

8) звенья, описываемые кусочно-линейными дифференциальными уравнениями, в том числе переменная структура.

Рисунок 10.1 – Статические характеристики релейных звеньев

Различают статические и динамические нелинейности. Первые представляются в виде нелинейных статических характеристик, а вторые — в виде нелинейных дифференциальных уравнений.

Общий метод составления уравнений для нелинейных систем состоит в следующем. Сначала по определенным правилам производится линеаризация уравнений всех звеньев системы, для которых это допустимо, кроме существенно нелинейных звеньев (чаще всего одного-двух). Затем составляются уравнения этих последних звеньев со всеми допустимыми упрощениями их характеристик.

В результате получается система обыкновенных линейных уравнений, к которым добавляется одно-два (иногда более) нелинейных. В соответствии с этим обобщенную структурную схему любой нелинейной системы автоматического регулирования в случае одного нелинейного звена можно представить в виде рисунке 10.2, а, где линейная часть может иметь структуру любой сложности (с обратными связями и т. п., как, например, на рисунке 10.2, б или е. В случае двух нелинейных звеньев могут быть разные комбинации, в зависимости от того, в какие цепи системы они входят (см., например, рисунок 10.3).

Часто при исследовании нелинейных систем автоматического регулирования удается выделить нелинейность так, чтобы она описывалась непосредственно зависимостью между выходной и входной величинами

x₂ =F(x₁), (10.1)

которая может иметь любую форму (релейного типа, кусочно-линейного или криволинейного). Но иногда не удается этого сделать и приходится исследовать нелинейные дифференциальные зависимости вида

(10.2)

Встречаются и более сложные случаи, когда обе величины (входная и выходная) оказываются под знаком нелинейной функции раздельно;

(10.3)

или же вместе:

(10.4)

Классификация нелинейных систем

Разделим все нелинейные системы регулирования на два больших класса.

1. К первому классу нелинейных систем отнесем такие, в которых уравнение нелинейного звена приводится к любому из видов (10.1) — (10.2), т. е. когда под знаком нелинейной функции стоит только входная величина (и ее производные) либо только выходная величина (и ее производные).

Рисунок 10.2 – Различные виды включения нелинейных звеньев

При этом имеется в виду, что схема системы в целом может быть приведена к виду рисунка 10.2 с одним нелинейным звеном. К этому классу сводится, например, также случай с двумя нелинейными звеньями, указанный на рисунке 10.3, в, так как там они могут быть объединены в одно нелинейное звено. Сюда же относится и случай, показанный на рисунке 10.3, г, где имеются два нелинейных звена (если их уравнения содержат под знаком нелинейности только входную величину х, например, вида (10.1) или (10.2)).

2. Второй класс нелинейных систем включает системы с любым числом нелинейных звеньев, когда под знаки нелинейных функций входят различные переменные, связанные между собой линейной передаточной функцией. Так будет в случае системы с одним нелинейным звеном вида (10.3) или (10.4), а также в системе с двумя нелинейными звеньями (рисунок 10.3, а или г), если в первом из них под знак нелинейности входит входная величина, а во втором — выходная. Система же рисунка 10.3, б относится ко второму классу, если под знаки нелинейностей входят в обоих звеньях либо только входные, либо только выходные величины нелинейных звеньев.

Ко второму классу нелинейных систем относятся также системы с двумя и более нелинейностями, в уравнениях которых под знаки нелинейных функций входят разные переменные, связанные между собой нелинейными дифференциальными уравнениями (т. е. связанные через линейные части и нелинейные звенья). К таким системам относятся, например, система на рисунке 10.3, а, если в ее уравнениях под знаками нелинейных функций находятся входные (или выходные) величины обоих нелинейных звеньев, и многие другие системы.

Системы с логическими устройствами относятся обычно к нелинейным системам второго класса.

Заметим, что во всех случаях, когда под знак нелинейной функции входит какая-либо линейная комбинация разных переменных, их следует

Рисунок 10.3 – Нелинейные системы второго класса

обозначать одной буквой, а данную линейную комбинацию учесть при составлении общего уравнения линейной части системы. Это бывает, например, в тех случаях, когда на вход нелинейного звена подаются производные или включается обратная связь. Так, если для рисунка 10.2, б

(10.5)

то, обозначая

(10.6)

можно привести уравнение нелинейного звена к виду (10.1).

Из всех уравнений линейных звеньев, а также добавочных линейных выражений типа (10.6), получаемых при выделении нелинейности, составляется общее уравнение линейной части системы

(10.7)

(где Q (р) и R (р) — операторные многочлены) или передаточная функция линейной части системы

(10.8)

Составление уравнений будет проиллюстрировано ниже на примерах.

Понятие устойчивости нелинейных систем

Процессы в нелинейных системах автоматического регулирования имеют целый ряд весьма существенных особенностей, которые не встречаются в линейных системах.

Благодаря этим существенным особенностям даже вопрос об устойчивости системы становится здесь более сложным. Кроме структуры системы и значений ее параметров для устойчивости того или иного установившегося процесса имеют значение здесь, в отличие от линейных систем, также и начальные условия. Возможен новый вид установившегося процесса — автоколебания, т. е. устойчивые собственные колебания с постоянной амплитудой при отсутствии внешних колебательных воздействий. Когда в системе

Рисунок 10.4 – Переходные характеристики нелинейных систем

возникают автоколебания, то установившееся состояние, соответствующее постоянному значению регулируемой величины, часто становится невозможным.

Следовательно, в общем случае на плоскости параметров системы могут быть не два вида областей (устойчивости и неустойчивости), как в линейных системах, а больше: 1) область устойчивости равновесного состояния с постоянным значением регулируемой величины; 2) область устойчивых автоколебаний; 3) область неустойчивости системы; 4) области, соответствующие другим, более сложным случаям.

Если процессы в системе имеют вид, указанный на рисунке 10.4, а, то равновесное состояние (х = 0) неустойчиво. В том случае, когда оба указанных на рисунке 10.4, а колебания в переходных процессах стремятся к одной и той же амплитуде и к одной и той же частоте, система будет обладать устойчивыми автоколебаниями с амплитудой а.

На рисунке 10.4, б и в показаны случаи, когда равновесное состояние (x = 0) системы устойчиво «в малом», т. е. при начальных условиях, не выводящих отклонения в переходном процессе за определенную величину а, и неустойчиво «в большом», т. е. при начальных условиях, выводящих отклонение в переходном процессе за пределы величины а. Здесь граничным процессом является неустойчивый периодический процесс собственного движения системы с амплитудой а (переходные процессы расходятся от него в обе стороны).

На рисунке 10.4, г показан случай трех возможных установившихся состояний: 1) равновесное состояние (х = 0), 2) колебания с постоянной амплитудой a₁, 3) колебания с постоянной амплитудой a₂. При этом колебания с амплитудой а₁ неустойчивы. В результате система будет устойчива «в малом» по отношению к равновесному состоянию х = 0, а «в большом» система будет обладать устойчивыми автоколебаниями с амплитудой a₂.

Построение переходной характеристики нелинейной системы методом припасовывания

Пример. Для иллюстрации особенностей нелинейной системы исследуем переходный процесс и автоколебания в релейной системе автоматического регулирования температуры, изображенной на рисунке 10.5. Для этого составим сначала уравнение регулируемого объекта и регулятора.

Рисунок 10.5 – Релейная система автоматического регулирования температуры

Пусть регулируемый объект представляет собой некоторую камеру. Учитывая инерционность процесса нагрева и охлаждения, запишем уравнение регулируемого объекта в виде

(10.9)

где θ — отклонение температуры, φ — отклонение регулирующего органа, f(t) — внешние возмущения.

При отклонении температуры θ появляется ток в диагонали моста того или иного направления (рисунок 10.5) и замыкается тот или иной контакт реле 3, включающего постоянное напряжение в ту или иную обмотку возбуждения 4

Рисунок 10.6 – Статическая характеристика реле (а)); Временные характеристики: системы регулирования температуры (б) и реле (в)

электродвигателя 5. Приняв во внимание некоторое отставание в этом про-цессе включения, получим релейную характеристику вида г) рисунок 10.1. Далее, считая, что ток I пропорционален отклонению температуры объекта θ, а скорость dφ/dt— отклонения регулирующего органа 6 пропорциональна напряжению на обмотках возбуждения электродвигателя, можно в данном случае выходной величиной для указанной релейной характеристики считать прямо dφ/dt, а входной — θ (рисунок 10.6, а).

Следовательно, уравнение регулятора запишется здесь следующим образом:

(10.10)

(10.11)

Рассмотрим два произвольных участка переходного процесса (при f(t) = 0) в данной системе (участки АВ и BD на рисунке 10.6, б),

На участке АВ уравнение регулятора согласно рисунка 10.6, в будет dφ/dt = + с. Дифференцируя (10.9) по t и подставляя туда + с, получаем

при f (t) = 0 следующее уравнение системы регулирования на участке AB:

(10.12)

а на участке BD откуда получаем

(10.13)

Решение уравнения (10.12) будет

(10.14)

откуда получаем:

(10.15)

Условимся для простоты отсчитывать время t от начала участка АВ (рисунок 10.7, а). Тогда начальные условия будут

где dθ_A/dt пока неизвестно. Используя начальные условия, находим произвольные постоянные для уравнения (10.15);

(10.16)

Аналогично для участка BD согласно (10.13), отсчитывая время t тоже от начала этого участка (рисунок 10.7, б), получим решение

(10.17)

Все остальные участки кривой переходного процесса будут определяться, очевидно, такими же решениями, но только с другими числовыми

Рисунок 10.7 – Построение переходной характеристики методом припасовывания

значениями величин C₁, C₂, dθ_A/dt, С₁`, С<sub>2</sub>`, dθ_B/dt. Заметим, что величины dθ_A/dt и dθ_B/dt, необходимые для определения произвольных постоянных, находятся как значения dθ/dt в конце предшествующих им участков. Поэтому, если будет задана величина dθ/dt в начальной точке первого участка процесса, то все вышенаписанное решение для переходного процесса в системе станет определенным. Такой метод решения задачи называется методом припасовывания.

Понятие фазового пространства

Для наглядного представления о сложных нелинейных процессах регулирования часто прибегают к понятию фазового пространства, которое заключается в следующем. Дифференциальное уравнение замкнутой системы регулирования п-гопорядка можно преобразовать к системе п дифференциальных уравнений первого порядка в виде

(10.18)

с начальными условиями

где x₁, x₂, . . ., х_n — переменные, являющиеся искомыми функциями времени, причем x₁ может обозначать регулируемую величину, а x₂, . . ., х_n — вспомогательные переменные; f и g — возмущающее и задающее воздействия.

Пусть, например, в уравнениях (10.18) будет п = 3 (система третьего-порядка). Переменные x₁, х₂, x₃ здесь могут иметь любой физический смысл. Но условно их можно представить мысленно как прямоугольные координаты некоторой точки М (рисунок 10.8, а).

В реальном процессе регулирования в каждый момент времени величины х₁, x₂, x₃ имеют вполне определенные значения. Это соответствует вполне определенному положению точки М в пространстве (рисунок 10.8, а). С течением времени в реальном процессе величины х₁, x₂, x₃ определенным образом изменяются. Это соответствует определенному перемещению точки М в пространстве по определенной траектории. Следовательно, траектория движения точки М может служить наглядной геометрической иллюстрацией динамического поведения системы в процессе регулирования.

Точка М называется изображающей точкой, ее траектория называется фазовой траекторией, а пространство (х₁, x₂, x₃) называется фазовым пространством.

Так как производные по времени от координат точки представляют проекции ее скорости и на оси координат, то дифференциальные уравнения:

системы в форме (10.18) представляют собой выражения для проекций скорости v изображающей точки М (рисунок 10.8, а) на оси координат. Следовательно, по значениям правых частей уравнений (10.18) в каждый момент времени можно судить о направлении движения изображающей точки M, а вместе с тем и о поведении соответствующей реальной системы в процессе регулирования.

Начальные условия процесса регулирования (х₁₀, x₂₀, x₃₀) определяют координаты начальной точки фазовой траектории М₁ (рисунок 10.8, а).

Если переменных в уравнениях (10.18) будет всего две: x₁ и x₂ (система второго порядка), то изображающая точка будет двигаться не в пространстве, а на плоскости (фазовая плоскость).

Если переменных будет любое число n > 3 (система n-го порядка), то фазовое пространство будет не трехмерным, а n-мерным.

Итак, фазовое пространство и фазовые траектории представляют собой лишь геометрический образ динамических процессов, протекающих в системе. В этом геометрическом представлении участвуют координаты и исключено время. Фазовая траектория сама по себе дает лишь качественное представление о характере поведения системы. Чтобы определить количественно положение изображающей точки (а значит, и состояние системы) в любой момент времени, нужно найти решение заданных дифференциальных уравнений (10.18) во времени.

Если уравнения (10.18) составлены в отклонениях от установившегося состояния, то последнее характеризуется значениями x₁ = x₂ = . . . = x_n =0. Следовательно, изображением установившегося состояния системы является начало координат фазового пространства.

Отсюда вытекает, что фазовые траектории устойчивой линейной системы будут асимптотически приближаться к началу координат при неограниченном увеличении времени. Фазовые траектории неустойчивой линейной системы будут неограниченно удаляться от начала координат.

Для нелинейной системы вследствие ряда особенностей процессов, отмечавшихся выше, фазовые траектории могут принимать самые разнообразные очертания. Если имеется асимптотическая устойчивость для определенного круга начальных условий, то все фазовые траектории, которые начинаются внутри определенной области η, окружающей начало координат фазового пространства (рисунок 10.8, б), будут асимптотически приближаться к началу координат. Если устойчивость неасимптотическая, то фазовые траектории, начинающиеся внутри определенной области η вокруг начала координат фазового пространства, могут иметь любые очертания, но не будут выходить за пределы некоторой определенной области ε, окружающей начало координат (рисунок 10.8, б).

Формулировка понятия устойчивости по Ляпунову

Невозмущенное движение (установившийся процесс) называется устойчивым, если при заданной сколь угодно малой области ε (рисунок 10.8, б) можно найти такую область η, что при начальных условиях, расположенных внутри этой области, возмущенное движение (переходный процесс) будет таким, что изображающая точка не выйдет из области ε при любом сколь угодно большом значении времени t.

В аналитической записи формулировка понятия устойчивости по Ляпунову будет следующей. Невозмущенное движение (установившийся процесс) будет устойчивым, если при заданных положительных сколь угодно малых числах ε можно найти такие положительные числа η_i (i = 1, . . ., п), что при начальных условиях

(10.19)

решение дифференциальных уравнении возмущенного движения (переходного процесса) удовлетворяет неравенствам

при любом сколь угодно большом t начиная с некоторого t = Т >0.

Представим себе для этой аналитической записи геометрический образ в фазовом пространстве. Очевидно, что при ограничении начальных условий по каждой координате неравенствами (10.19) получается n-мерный параллелепипед со сторонами 2η_i внутри которого должна лежать начальная точка фазовой траектории М₀ (x₁₀, х₂₀, . . ., x_n0). На фазовой плоскости (п= 2) он обращается в прямоугольник. Аналогично и второе из написанных неравенств геометрически означает, что фазовые траектории не должны выходить из параллелепипеда со сторонами 2ε_i.

В формулировке Ляпунова содержится требование сколь угодной малости указанных областей. Однако практически это определение, так же как и теоремы Ляпунова, которые будут приведены ниже, применяется и тогда, когда эти области имеют определенные конечные размеры.