Криволинейные системы координат в трехмерном пространстве.
Вычисление тройного интеграла.
Теорема 1. Тройной интеграл от функции f(x,y,z) по правильной области V равен трехкратному интегралу по той же области:
. (25.5)
Доказательство.
Разобьем область V плоскостями, параллельными координатным плоскостям, на п правильных областей . Тогда из свойства 1 следует, что
,
где - трехкратный интеграл от функции f(x,y,z) по области .
Используя формулу (25.4), предыдущее равенство можно переписать в виде:
.
Из условия непрерывности функции f(x,y,z) следует, что предел интегральной суммы, стоящей в правой части этого равенства, существует и равен тройному интегралу .Тогда, переходя к пределу при , получим:
IV = ,
что и требовалось доказать.
Замечание.
Аналогично случаю двойного интеграла можно доказать, что изменение порядка интегрирования не меняет значения трехкратного интеграла.
Пример. Вычислим интеграл где V – треугольная пирамида с вершинами в точках (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1). Ее проекцией на плоскость Оху является треугольник с вершинами (0, 0), (1, 0) и (0, 1). Снизу область ограничена плоскостью z = 0, а сверху – плоскостью x + y + z = 1. Перейдем к трехкратному интегралу:
Множители, не зависящие от переменной интегрирования, можно вынести за знак соответствующего интеграла:
Криволинейные системы координат в трехмерном пространстве.
- Цилиндрическая система координат.
Цилиндрические координаты точки Р(ρ,φ,z) – это полярные координаты ρ, φ проекции этой точки на плоскость Оху и аппликата данной точки z (рис.2).
z z
• P(ρ,φ,z) • P(ρ,φ,θ)
z θ ρ
z
O
φ y O y
ρ φ
x
Рис.2 x Рис.3
Формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым можно задать следующим образом:
x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z. (25.6)
- Сферическая система координат.
В сферических координатах положение точки в пространстве определяется линейной координатой ρ – расстоянием от точки до начала декартовой системы координат (или полюса сферической системы), φ – полярным углом между положительной полуосью Ох и проекцией точки на плоскость Оху, и θ – углом между положительной полуосью оси Оz и отрезком OP (рис.3). При этом
Зададим формулы перехода от сферических координат к декартовым:
x = ρ sinθ cosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ. (25.7)
Дата добавления: 2016-06-18; просмотров: 2147;