Математическая формулировка задачи
Нестационарная теплопроводность
Постановка задачи
Пусть теплофизические характеристики постоянны (l, с, r) и заданы граничные условия третьего рода, которые наиболее часто встречаются на практике. Задача формулируется следующим образом:
Плоская неограниченная пластина толщиной d, имеющая во всех точках одинаковую начальную температуру tн в момент времени t=0 помещается в среду, температура которой tж<tн. Температура среды во время охлаждения поддерживается постоянной. Охлаждение пластины происходит через обе ее поверхности с одинаковой интенсивностью путем теплоотдачи. Коэффициент теплоотдачи a известен и не меняется во времени.
Требуется найти температурное поле пластины в произвольный момент
времени t>0.
Математическая формулировка задачи
(1)
где x меняется в пределах 0£х£d/2 (Начало координат в середине пластины и рассматривается процесс только в одной ее половине)
Рис. 1. |
Краевые условия:
1. Начальные условия.
t=0; 0£х£l; t=tн; l=d/2.
2. Граничные условия.
а) при х=0 и t>0, (¶t/¶x)0=0, так как при симметричном охлаждении в середине пластины в любой момент времени температура будет максимальной (рис.1),
б) при х=l и t>0, .
3. Выполним операцию приведения уравнения (1) к безразмерной форме. Для чего заменим t избыточной температурой n=t-tж. Так как dn=dt, то уравнение (1) примет вид:
(2)
при t=0; 0£х£l; n=nн=tн-tж,
при х=0 и t>0 (¶n/¶x)0=0,
при х=l и t>0 , где nc=tс-tж.
Далее вместо избыточной температуры введем безразмерную избыточную температуру Q=n/nн=(t-tж)/(tн-tж), а вместо координаты х - безразмерную координату Х=х/l.
откуда после сокращения и преобразования получим:
В данной форме дифференциальное уравнение безразмерно. Комплекс at/l2=Fo - критерий Фурье, который можно трактовать как безразмерное время.
Окончательно дифференциальное уравнение теплопроводности в безразмерной записи получается в более простом виде:
(3)
Начальное условие при Fo=0; Qн=1,
граничное условие при X=0, (¶Q/¶X)0=0, (*)
при X=1, (¶Q/¶X)c=-Bi×Qc,
где Qc= nc/nн - безразмерная температура стенки.
критерий Био.
Физический смысл критерия Био состоит в том, что его величина характеризует соотношение интенсивностей отвода теплоты в процессе теплоотдачи и подвода теплоты из внутренних слоев тела к поверхности за счет теплопроводности.
Дата добавления: 2018-11-26; просмотров: 768;