Постановка задачи линейного программирования и формы ее записи
Сформулируем общую задачу линейного программирования.
Пусть дана система m линейных уравнений и неравенств с n переменными (система ограничений):
(1)
и линейная функция
. (2)
Необходимо найти такое решение системы (1), при котором линейная функция принимает максимальное (минимальное) значение.
В общем случае ЗЛП может иметь бесконечное множество решений. Часто решение , удовлетворяющее ограничениям (1), называют планом. Если все компоненты (3) для , то называют допустимым решением.
Оптимальным решением или оптимальным планом задачи линейного программирования называется такое ее решение , которое удовлетворяет всем ограничениям системы (1), условию (3) и при этом дает максимум (минимум) целевой функции (2).
Модель задачи линейного программирования может быть задана в одной из следующих форм.
Каноническая | Стандартная | Общая |
1)Ограничения | ||
Уравнения , | Неравенства , | Уравнения и неравенства , |
2)Условия неотрицательности | ||
Все переменные , | Все переменные , | Часть переменных , , |
3)Целевая функция | ||
(max или min) |
Здесь: – переменные задачи; – коэффициенты при переменных в целевой функции; – коэффициенты при переменных в основных ограничениях задачи; – правые части ограничений.
Пример. Составить экономико-математическую модель задачи: Для выпуска изделий двух типов А и В на заводе используют сырье четырех видов (I, II, III, IV). Для изготовления изделия А необходимо: 2 ед. сырья первого вида, 1 ед. второго вида, 2 ед. третьего вида и 1 ед. четвертого вида. Для изготовления изделия В требуется: 3 ед. сырья первого вида, 1 ед. второго вида, 1 ед. третьего вида. Запасы сырья составляют: I вида – 21 ед., II вида – 8 ед., III вида – 12 ед., IV вида – 5 ед. Выпуск одного изделия типа А приносит 3 УДЕ прибыли, а одного изделия типа В – 2 УДЕ. Составить план производства, обеспечивающий наибольшую прибыль.
Решение.Достаточно часто при составлении математической модели экономической задачи бывает удобно данные условия представить в виде таблицы:
Сырье | Кол-во сырья на ед. продукции, ед. | Запас сырья, ед. | |
А | В | ||
I | |||
II | |||
III | |||
IV | – | ||
Прибыль от ед. продукции, УДЕ |
Пусть – количество изделий типа А и В соответственно, планируемое к выпуску ( , ).
Тогда прибыль составит: , т.к. план производства должен обеспечивать наибольшую прибыль, то целевая функция задачи: .
Составим систему ограничений, используя заданную ограниченность сырья. При планируемых объемах производства расходуется сырья I вида: (ед.), что не должно превышать запас 21 ед. Т.о. получим неравенство: . Составляя неравенства по каждому виду сырья, получим систему:
Получаем математическую модель задачи линейного программирования:
Пример. Составить математическую модель задачи: На четырех станках (I, II, III, IV) обрабатываются два вида деталей (А и В). Каждая деталь проходит обработку на всех станках. Известны время обработки деталей на каждом станке, время работы станков в течение одного цикла производства и прибыль, полученная от выпуска одной детали. Данные приведены в таблице:
Станки | Время обработки детали, ч. | Время работы станка (цикл пр-ва), ч. | |
А | В | ||
I | |||
II | |||
III | |||
IV | |||
Прибыль от 1 детали, УДЕ |
Составить план производства, обеспечивающий наибольшую прибыль при условии, что количество деталей вида В не должно быть меньше количества деталей вида А.
Решение.Пусть – количество деталей вида А и В соответственно, планируемое к выпуску ( , ). Задача аналогична предыдущей, но при составлении модели не следует выпускать из поля зрения фразу: количество деталей вида В не должно быть меньше количества деталей вида А, что математически представимо в виде неравенства: .
Тогда математическая модель задачи линейного программирования имеет вид:
Любая ЗЛП может быть сведена к канонической, стандартной или общей задаче.
Дата добавления: 2022-07-20; просмотров: 97;