Реляционная алгебра

 

В основе реляционной модели лежит математическое понятие теоретико-множественного отношения. Теоретико-множественное отношение представляет собой подмножество декартова произведения доменов. Доменом называется набор значений элементов данных одного типа, отвечающий поставленным условиям (например, домен ФИО определяется на базовом типе строк символов, но в число его значений могут входить только те строки, которые могут изображать имя).

Декартовымпроизведениемk доменов (D1, D2,…, Dk), (обозначается D1×D2×…×Dk), называется множество всех кортежей вида (V1, V2, …, Vk) длины k, таких, что V1∈D 1, V2∈D2, …, Vk∈Dk.

Например, пусть D1 = {1, 2, 3}; D2 = {a, b, c, d}

Тогда

  1,a 1,b 1,c 1,d   в матричном виде
D1×D2 = 2,a 2,b 2,c 2,d
  3,a 3,b 3,c 3,d

 

или:

D1×D2 = {(1,a), (1,b), (1,c), (1,d), (2,a), (2,b), (2,c), (2,d), (3,a), (3,b), (3,c), (3,d)}

Отношением называют некоторое подмножество декартова произведения доменов (предполагаются только конечные отношения).

Примеры отношений:

1) {(1,a), (1,c), (1,b)} - подмножество декартова произведения доменов D1×D2;

2) Ø.

В реляционных СУБД для выполнения операций над отношениями используют две группы языков, имеющие в качестве своей математической основы теоретические языки запросов, предложенные Э. Коддом:

· реляционную алгебру;

· реляционное исчисление.

Реляционнойалгеброй называют систему операций манипулирования отношениями, каждый оператор которой в качестве операнда имеет одно или более отношений и образует отношение по заранее обусловленному правилу.

Вариант реляционной алгебры, предложенный Коддом, включает в себя следующие операции: объединение, разность, пересечение, декартово (прямое) произведение, выборка (селекция), проекция, деление и соединение. Упрощенное графическое представление перечисленных операций показано на рис. 4.1.

1) Объединением двух отношений (r ∪ s) является отношение, содержащее все кортежи, которые принадлежат либо r, либо s, либо им обоим.

Данная операция применяется к отношениям с одной и той же схемой.

Схемойотношенияr называется конечное множество имен атрибутов {A1, A2, …, An}.

Примеры:

a) Пусть k и m – отношения со схемой ABC:

 

k (A B C)   m (A B C)
  a1 b1 c1     a1 b2 c1
  a1 b2 c1     a2 b2 c1
  a2 b1 c2     a2 b2 c2

 

Тогда объединение данных отношений:

 

k ∪ m = (A B C)
  a1 b1 c1
  a1 b2 c1
  a2 b1 c2
  a2 b2 c1
  a2 b2 c2

 

б) Пусть отношение R1 – множество поставщиков из Москвы, а R2 – множество поставщиков, которые поставляют деталь D1:

R1 R2

№_П ФИО_П Город_П   №_П ФИО_П Город_П
Р1 Иванов И. И. Москва   Р1 Иванов И. И. Москва
Р4 Петров П. П. Москва   Р2 Сидоров С. С. Киев

 

Тогда объединение данных отношений даст поставщиков из Москвы, либо поставщиков, которые поставляют деталь D1, либо тех и других:

R1 ∪ R2

№_П ФИО_П Город_П
Р1 Иванов И. И. Москва
Р4 Петров П. П. Москва
Р2 Сидоров С.С. Киев

 

2) Разностью двух отношений (обозначается r - s) является отношение, содержащее все кортежи, которые принадлежат r, но не принадлежат s.

Операция применяется к отношениям с одной и той же схемой.

Примеры:

а)

k – m = (A B C)
  a1 b1 c1
  a2 b1 c2

 

б) Разность отношений R1 и R2 даст поставщиков из Москвы, не поставляющих деталь D1:

R1 – R2

№_П ФИО_П Город_П
Р4 Петров П. П. Москва

3) Пересечением двух отношений (обозначается r ∩ s) является отношение, содержащее все кортежи, которые принадлежат одновременно r и s.

Операция применяется к отношениям с одной и той же схемой.

Примеры.

а)

k ∩ m = (A B C)
  a1 b2 c1

 

б) Пересечение отношений R1 и R2 даст всех поставщиков из Москвы, поставляющих деталь D1:

R1 ∩ R2

№_П ФИО_П Город_П
Р1 Иванов И. И. Москва

 


Рис. 4.1. Основные операции реляционной алгебры

 

4) Декартовымпроизведением отношения r степени k1 и отношения s степени k2 (r × s) является отношение степени (k1 + k2), содержащее такие кортежи, первые k1 элементов которых принадлежат r, а последние k2 элементов принадлежат s.

Примеры:

а) Даны отношения k и m

 

k (A B)   m (C D)
  a1 b1     c1 d1
  a2 b1     c2 d1
          c2 d2

 

Тогда

k × s = (A B C D)
  a1 b1 c1 d1
  a1 b1 c2 d1
  a1 b1 c2 d2
  a2 b1 c1 d1
  a2 b1 c2 d1
  a2 b1 c2 d2

 

б) Пусть отношение R1 – множество поставщиков, а S1 – множество деталей:

R1 S1

№_П ФИО_П Город_П   №_Д Название Вес Город_Д
Р1 Иванов И. И. Москва   Д1 гайка Москва
Р2 Сидоров С. С. Киев   Д3 винт Ростов
        Д6 шпилька Москва

 

Тогда декартово произведение данных отношений:

R1 × S1

№_П ФИО_П Город_П №_Д Название Вес Город_Д
Р1 Иванов И.И. Москва Д1 гайка Москва
Р1 Иванов И.И. Москва Д3 винт Ростов
Р1 Иванов И.И. Москва Д6 шпилька Москва
Р2 Сидоров С.С. Киев Д1 гайка Москва
Р2 Сидоров С.С. Киев Д3 винт Ростов
Р2 Сидоров С.С. Киев Д6 шпилька Москва

5) Выборка (применяется к одному отношению). Результатом ее применения к отношению r является другое отношение, представляющее собой подмножество кортежей отношения r с определенным значением в выделенном атрибуте.

Пусть r отношение со схемой R, A – атрибут в R и a – элемент из домена А. Тогда – операция выборки в r кортежей, в которых значение A равно a. В условии выборки можно использовать константы, логические операции и операции сравнения.

Примеры:

а)

№_Д Название Вес Город_Д
Д1 гайка Москва

 

б) Дано отношение R1

R1

№_П №_Д Количество
Р1 Д1
Р1 Д3
Р2 Д1
Р2 Д4
Р3 Д1

 

Тогда

№_П №_Д Количество
Р3 Д1

 

6) Проекция(применяется к одному отношению) - операция выбора подмножества столбцов. Пусть r – отношение со схемой R, Х – подмножество из R. Проекция r на X есть отношение , полученное вычеркиванием столбцов, соответствующих атрибутам в R – X, и исключением из оставшихся столбцов повторяющихся строк.

Примеры.

а) Пусть k - отношение со схемой АВС:

 

k (A B C)
  a1 b1 c1
  a1 b2 c1
  a2 b1 c2

 

Тогда запись означает, что из каждого кортежа, принадлежащего k, формируется кортеж длины 2 из третьего и первого его атрибутов в указанном порядке:

 

= (C A)   повторяющиеся кортежи исключаются
  c1 a1
c2 a2

 

Записи эквивалентна запись .

б) Пусть S1 - отношение, содержащее информацию о деталях:

S1

№_Д Название Вес Город_Д
Д1 гайка Москва
Д3 винт Ростов
Д6 шпилька Москва

 

Тогда

№_Д Город_Д
Д1 Москва
Д3 Ростов
Д6 Москва

7) Деление. Пусть r – отношение со схемой R, s – отношение со схемой S и S ⊆ R. Положим = R – S. Частное от деления r на s (r ÷ s) – это максимальное подмножество множества , такое, что декартово произведение и s содержится в r.

Примеры:

а) Даны отношения k и m

 

k (A B C D)   m (C D)
  a1 b1 c1 d2     c2 d1
  a2 b2 c2 d1     c4 d1
  a3 b2 c3 d3        
  a2 b2 c4 d1        
  a1 b3 c5 d4        
  a4 b1 c6 d5        

Тогда

 

k ÷ m = (A B)
  a2 b2

 


б) Имеется отношение

Право

Пилот Тип_самолета
Иванов
Иванов
Иванов
Петров
Петров
Сидоров
Сидоров
Сидоров
Сидоров
Макаров

 

Требуется найти тех пилотов, которые имеют право управлять всеми типами самолета из некоторого множества q.

q

Тип_самолета

 

Тогда

Право ÷ q

Пилот
Иванов
Сидоров

 

8) Соединение.

Естественноесоединение. Пусть r – отношение со схемой R, s – отношение со схемой S и R ∪ S = T. Естественным соединением отношений r и s (r ⊲⊳ s) является отношение q со схемой T, содержащее кортежи, каждый являющийся комбинацией кортежа из r и кортежа из s с равными (R ∩ S) – значениями.

Примечание. Если R ∩ S = ∅, то r ⊲⊳ s даст декартово произведение r и s.

Примеры:

а) Даны отношения k и m

 

 

k (A B)   m (B C)
  a1 b1     b1 c2
  а1 b2     b2 c1
  a2 b1        

 

Тогда

k ⊲⊳m = (A B C)
  a1 b1 c2
  a2 b1 c2
  a1 b2 c1

 

 


б) Даны отношения R1 и S1

R1 S1

№_П ФИО_П Город_П   №_Д Название Вес Город_Д
Р1 Иванов И. И. Москва   Д1 гайка Москва
Р2 Сидоров С. С. Киев   Д3 винт Ростов
        Д6 шпилька Москва

 

Естественное соединение R1 и S1 по атрибуту Город (в отношении R1 – это Город_П, а в отношении S1 – Город_Д):

R1 ⊲⊳ S1

№_П ФИО_П Город №_Д Название Вес
Р1 Иванов И.И. Москва Д1 гайка
Р1 Иванов И.И. Москва Д6 шпилька

 

Тета – соединение. При естественном соединении отношения могут комбинироваться только по одноименным столбцам и должны комбинироваться по всем таким столбцам.

Примечание. В предыдущем примере вначале была применена операция переименования атрибутов Город_Д и Город_П на Город.

Отношения могут соединяться также по столбцам с различными именами атрибутов, но равными доменами.

Тета – соединение отношений r и s по столбцам i и j представляет собой множество кортежей в декартовом произведении r и s, таких, что i-й элемент r находится в связи Θ с j–элементом s.

Если Θ является оператором «=», то эта операция называется эквисоединением.

Примеры

а) Пусть R1 – отношение, содержащее информацию о рейсах из города «а» в город «в», S1 – отношение, содержащее информацию о рейсах из города «в» в город «с»:

 

R1

Номер Время_вылета Время_прибытия
9.40 11.45
12.50 14.47
16.05 18.15
20.30 22.25
21.15 23.11

 

 

S1

Номер Время_вылета Время_прибытия
8.30 9.52
12.25 13.43
16.20 17.40
19.10 20.35

 

 

Требуется узнать, какие рейсы из «a» в «в» сочетаются с рейсами из «в» в «c».

Для этого необходимо соединить те кортежи, для которых Время_прибытия в отношении R1 меньше Время_вылета в отношении S1.

 

Тета – соединение отношений R1 и S1:

Номер Время_вылета Время_прибытия Но­мер Время_вылета Время_прибытия
9.40 11.45 12.25 13.43
9.40 11.45 16.20 17.40
9.40 11.45 19.10 20.35
12.50 14.47 16.20 17.40
12.50 14.47 19.10 20.35
16.05 18.15 19.10 20.35

 

б) Даны отношения Маршрут и Адрес

Маршрут

Номер Пункт_отправления Пункт_назначения
Чикаго Нью-Йорк
Нью-Йорк Лос-Анджелес
Атланта Бостон
Нью-Йорк Бостон
Бостон Нью-Йорк

 

Адрес

Пилот Аэропорт   отношение указывает для каждого пилота адрес базового аэропорта, к которому он приписан
Терхьюн Нью-Йорк
Темпл Атланта
Тейлор Атланта
Тарбелл Бостон
Тодд Лос-Анджелес
Трумен Чикаго  

 

Требуется назначить пилотов на те рейсы, пункт отправления которых совпадает с аэропортом, к которому приписан пилот.

Эквисоединение отношений Маршрут и Адрес по столбцам Пункт_отправления и Аэропорт:

 

Номер Пункт_отправления Пункт_назначения Пилот Аэропорт
Чикаго Нью-Йорк Трумен Чикаго
Нью-Йорк Лос-Анджелес Терхьюн Нью-Йорк
Атланта Бостон Темпл Атланта
Атланта Бостон Тейлор Атланта
Нью-Йорк Бостон Терхьюн Нью-Йорк
Бостон Нью-Йорк Тарбелл Бостон

 

Основное отличие эквисоединения от естественного в том, что при последнем соединяемые столбцы не повторяются.

По справедливому замечанию Дейта, реляционная алгебра Кодда обладает несколькими недостатками. Во-первых, восемь перечисленных операций по охвату своих функций, с одной стороны, избыточны, так как минимально необходимый набор составляют пять операций: объединение, вычитание, произведение, проекция и выборка. Три другие операции (пересечение, соединение и деление) можно определить через пять минимально необходимых. Во-вторых, этих восьми операций недостаточно для построения реальной СУБД на принципах реляционной алгебры. Требуются расширения, включающие операции: переименования атрибутов, образования новых вычисляемых атрибутов, вычисления итоговых функций, построения сложных алгебраических выражений, присвоения, сравнения и т. д.






Дата добавления: 2016-06-15; просмотров: 2274; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2020 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь
Генерация страницы за: 0.043 сек.