Метод основных построений

Задачи на построение в курсе геометрии основной школы

Основная цель: рассмотреть с учащимися новый тип геометрических задач – задачи на построение. Сформировать умение выполнять основные построения с помощью циркуля и линейки, познакомить со структурой процесса решения задач на построение и методами их решения.

Содержание учебного материала

Первоначально с задачами на построение учащиеся знакомятся в 7 классе. В качестве инструментов построения чаще всего являются линейка и циркуль. С помощью линейки как инструмента геометрических построений можно провести произвольную прямую; произвольную прямую, проходящую через данную точку; произвольную прямую, проходящую через две данные точки. Никаких других операций выполнять линейкой нельзя.

Циркуль как инструмент геометрических построений позволяет описать из данного центра окружность данного радиуса. В частности, циркулем можно отложить данный отрезок на данной прямой от данной точки» (П., с. 58). В учебнике А. конструктивные возможности линейки и циркуля описываются несколько иначе (см. с. 44).

В геометрии среди задач на построение выделяют так называемые основные построения. Перечислим их с указанием наличия в школьных учебниках.

Номер ОП	Название ОП	В учебнике А.	В учебнике П.
1.	Построение треугольника по трём сторонам.	С.84	С.58
2.	Построение угла, равного данному.	С. 45	С.59
3.	Построение биссектрисы угла.	С. 46	С.59
4.	Построение середины отрезка	С. 48	С.59
	Построение прямой, перпендикулярной к данной прямой и проходящей через данную точку	С. 47, с. 49 (№ 153)	С.60
6.	Построение прямой, параллельной данной прямой и проходящей через данную точку	С. 68 (№ 222)
7.	Построение треугольника по стороне и двум прилежащим углам.	С. 85	С. 65,№ 23 (2)
8.	Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.	С. 84	С. 65,№ 23 (1)
9.	Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу.	С. 92, №314(а)
10.	Построение прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе.	С. 92, №314(в)	С. 65, № 35
11.	Построение касательной к данной окружности, проходящей через данную точку.	С. 167, С. 175, № 673	С. 66, № 49 (2)
	Построение окружности, вписанной в данный треугольник.	С. 186, № 701	С. 65,№ 26
13.	Построение окружности, описанной около данного треугольника.	С. 187, № 711	С.65, № 34
14.	Построение отрезка, четвёртого пропорционального к трём данным отрезкам.	С. 163, № 628	С.78, Задача 6.1
15.	Построение отрезка, среднего пропорционального к двум данным отрезкам.	С. 175, № 669	С. 95, № 15.
16.	Деление отрезка на п равных частей.	С. 108, № 396	С.74,№ 48
17.	Деление отрезка в отношении т:п (внутренним и внешним образом).	С. 155, № 584

При изучении основных преобразований полезно предложить учащимся завести альбом и использовать следующую форму записи

Пример 1.

ОП 2. Построение угла, равного данному углу.

Дано:

Построить: Ð А₁В₁С₁.

Условия:

ÐАВС =Ð А₁В₁С₁.

Построение.

План построения. 1. р – прямая. 2. В₁Î р. 3. Окружность (В, r). 4. М – точка пересечения окружности и ВС. 5. N – точка пересечения окружности и АВ 6.Окр. (В₁, r). 7. С₁– точка пересечения окружности (6) и прямой р. 7. Окружность (С₁, МN) 8. А₁ – точка пересечения окружности (6) и (7) 9. В₁А₁. 10. Ð А₁В₁С₁ = ÐАВС.

Пример 2.

ОП 10.

Дано:

Построить D АВС. Условия: ÐС = 90°, АВ = с, ВС = а.

Построение

План построения. 1. Прямая l. 2. Точка СÎ l. 3. Прямая п (ОП 5). 4. Окр. (С; а). 5. Точка В=п∩Окр.(С; а). 6. Окр. (В; с). 7. Точка А=l ∩Окр.(В; с). 8. D АВС.

Изучение основных построений кроме реализации геометрических целей способствует формированию алгоритмической культуры учащихся.

Кроме основных построений в геометрии 7 – 9 классов рассматриваются в явном или в неявном виде другие методы решения задач. В учебнике А. приводится схема решения задач на построение:

1. Анализ: отыскание способа решения задачи путём установления связей между искомыми элементами и данными задачи. В результате анализа составляется план построения.

2. Построение:реализация плана.

3. Доказательство того, что построенная фигура удовлетворяет условию задачи.

4. Исследование, предполагающее ответ на 2 вопроса: всегда ли задача имеет решение и если имеет, то сколько. Исследование проводится по каждому пункту плана построения.

Рассмотрим методы решения задач на построение, используемые в школе, и приведём примеры.

Метод основных построений

Его суть состоит в том, что при выполнении анализа задачи следует подобрать последовательность основных построений, приводящих к построению искомой фигуры. При решении задач этим методом полезен эвристический приём под девизом «ищи треугольник».

№ 1 (А. 351). Постройте треугольник по двум сторонам и высоте к третьей стороне.

Дано: Анализ: План построения:

1. D АСН (ОП 10).

2. ω - Окр. (С, а).

3. В = ω ∩ АН.

4. D АВС.

Построить D АВС.

Условия:

ВС = а, АС = b, DАСН – прямоугольный, он может быть

СН = h, СН ^ АВ. построен по катету НС и гипотенузе АС.

Это ОП 10. Вершина В определяется как

точка пересечения прямой АН и окр. (С, а).

Построение

Доказательство

1. СН – высота D АВС, СН = h (по построению).

2. АС = b (по построению).

3. ВС = а (по построению).

D АВС удовлетворяет условиям построения.

Исследование

1. D АСН может быть построен, если b > h_c.

3. Точка В может быть построена, если а > h_c.

Задача имеет единственное решение.

№2. (А. 872). Постройте треугольник по двум сторонам и биссектрисе угла между ними.

Дано: Анализ:

Построить DАВС.

Условия:

СВ = а; ВС = b;

СL – биссектриса угла С, СL = l_c.

Попытаемся установить зависимость между а, b и l_c. Для этого проведём ВК || AC до пересечения с CL.

DСКВ - равнобедренный (Ð1=Ð2, Ð1=Ð3: Ð2=Ð3). Его можно построить, если удастся построить LK. Так как DACL ~ DBKL, то LK может быть построен как 4-ый пропорциональный отрезок к трём данным (ОП 14).