Эмпирические формулы

Пусть, изучая неизвестную функциональную зависимость между y и x, мы в результате серии экспериментов произвели ряд измерений этих величин и получили таблицу значений

Задача состоит в том, чтобы найти приближенную зависимость

, (4.1)

значения которой при мало отличаются от опытных данных y_i. Приближенная функциональная зависимость (4.1), полученная на основании экспериментальных данных, называется эмпирической формулой.

Задача построения эмпирической формулы отличается от задачи интерполирования. График эмпирической зависимости, вообще говоря, не проходит через заданные точки (x_i, y_i), как в случае интерполяции. Это приводит к тому, что экспериментальные данные в некоторой степени сглаживаются, а интерполяционная формула повторила бы все ошибки, имеющиеся в экспериментальных данных.

Построение эмпирической формулы состоит из двух этапов: подбора общего вида этой формулы и определения наилучших значений содержащихся в ней параметров. Общий вид формулы иногда известен из физических соображений. Например, для резистора связь между напряжением u и током i определяется законом Ома: u = R∙i , где R – активное сопротивление. Задача в данном случае сводится к определению одного неизвестного параметра R.

Если характер зависимости неизвестен, то вид эмпирической формулы может быть произвольным. Предпочтение обычно отдается наиболее простым формулам, обладающим достаточной точностью. Они первоначально выбираются из геометрических соображений: экспериментальные точки наносятся на график и примерно угадывается общий вид зависимости путем сравнения полученной кривой с графиками известных функций (многочлена, показательной или логарифмической функций и т. п.). Успех здесь в значительной мере определяется опытом и интуицией исследователя.

Простейшей эмпирической формулой является линейная зависимость

. (4.2)

Близость экспериментального распределения точек к линейной зависимости легко просматривается после построения графика данной экспериментальной зависимости. Кроме того, эту зависимость можно проверить путем вычисления значений k_i:

Если при этом k ≈ const, то точки (x_i, y_i) расположены приблизительно на одной прямой, и может быть поставлен вопрос о применимости эмпирической формулы (4.2). Точность такой аппроксимации определяется отклонением величин k_i от постоянного значения. В частном случае равноотстоящих точек x_i (т. е. Δx_i = const) достаточно проверить постоянство разностей Δy_i.

В ряде случаев к линейной зависимости могут быть сведены и другие экспериментальные данные, когда их график в декартовой системе координат не является прямой линией. Это может быть достигнуто путем введения новых переменных ξ , η вместо x, y:

, (4.3)

Функции φ(x,y) и ψ(x,y) выбираются такими, чтобы точки (ξ_i, η_i) лежали на некоторой прямой линии в плоскости (ξ, η ). Такое преобразование называется выравниванием данных.

Для получения линейной зависимости

с помощью преобразования (4.3) исходная формула должна быть записана в виде

.

К такому виду легко сводится, например, степенная зависимость (x>0, y>0). Логарифмируя эту формулу, получаем . Полагая , , находим линейную связь: , .

Другой простейшей эмпирической формулой является квадратный трехчлен

. (4.4)

Возможность использования этой формулы для случая равноотстоящих точек x_i можно проверить путем вычисления вторых разностей . При Δ²y_i ≈ const в качестве эмпирической формулы может быть выбрана (4.4).