Схема независимых испытаний Бернулли. Полиноминальное распределение

 

Предположим, что производятся независимо друг от друга nиспытаний, в каждом из которых возможны только 2 исхода: успех и неудача («У»,»Н»). Причём вероятность успеха Р(У)=p, Р(Н)=q , p+q=1.

Определение 10.1. Последовательность испытаний называется испытаниями Бернулли, если эти испытания независимы, в каждом из них возможны 2 исхода, причём вероятности этих исходов не меняются от испытания к испытанию.

В nиспытаниях Бернулли элементарным исходом является:

1, ω2,…, ωn), где ωi {У,Н}, i {1,…,n}.

Всего таких исходов 2n. Поскольку испытания независимы, то:

Р(ω1, ω2,…, ωn)= Р(ω1)P(ω2)…P(ωn).

Обозначим через Pn(k) вероятность того, что в n испытаниях Бернулли произошло ровно k успехов. Тогда

Pn(k)=Р{(У,…,У,Н,…,Н),(У,…,У,Н,У,Н,…,Н),…,(Н,…,Н,У,…У)}=

= pkqn-k + pkqn-k + …+ pkqn-k = pkqn-k.

 

Таким образом получим

Pn(k)= pkqn-k, k {0,…,n} , p+q=1 – формула Бернулли.

Пример 10.2. Двое равных по силам шахматистов играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть одну партию из двух или две из четырёх? Ничьи во внимание не принимаются.

p=q= , P2(1)= = = ;

P4(2)= ( )2( )2=6∙ = ;

Таким образом P2(1)> P4(2).

Полиноминальное распределение

Предположим, что производится независимо друг от друга n испытаний, в каждом из которых возможны k исходов E1, E2,…, Ek. Вероятность этих исходов обозначим P(Ei)=pi, i {1,…,k}. Причём =1, k>2.Вероятность того, что в n испытаниях исход E1 появится r1 раз, E2 r2 раз, …, E1rk раз, где =n, находится по формуле:

P(r1, r2,…, rk)= , =1, =n – формула полиноминального распределения.

Замечание 10.3. Формула полиноминального распределения обобщает формулу Бернулли на случай более 2 исходов в каждом испытании.

Пример 10.4.В урне 3 шара: белый, красный, синий. Из урны 5 раз наудачу извлекаются шары с возвращением. Найти вероятность того, что белый шар извлечён 3 раза, а красный и синий –по одному разу.

Поскольку p1= p2= p3= ; r1 =3, r2=1, r3 =1.

Тогда P5(3,1,1)= ( )3 = 20∙ = = .






Дата добавления: 2016-06-15; просмотров: 1074; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2020 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь
Генерация страницы за: 0.008 сек.