Безусловная оптимизация




Классическая теория экстремумов функции дает признаки абсолютного и относительного, условного и безусловного максимума (минимума):

В классической теории оптимизации различают необходимые и достаточные условия существования экстремума.

Рассмотрим сначала необходимые условия в случае функции одной переменной.

Рассмотрим функцию двух переменных. Если функция f(x,y) в точке (х0, у0) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю , либо хотя бы одна из них не существует. Эту точку (х0, у0) будем называть критической точкой.

Пусть в окрестности критической точки (х0, у0) функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражение:

- Если D(x0, y0) > 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) имеет экстремум, если - максимум, если - минимум.

- Если D(x0, y0) < 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) не имеет экстремума. В случае, если D = 0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя.

Аналогично данные положения можно обобщить для n переменных. Необходимым условием существования экстремума в точке является равенство

Пример

Например, градиент функции будет представлять собой:

К стационарным точкам относятся не только точки относительного (локального) экстремума, но и седловые точки (рис.3).

точка относительного (локального) экстремума
седловая точка


Рис..3. Стационарные точки

 

 

Для W(j1, j2) седловая точка – это такая точка j* =(j1*, j2*) в которой целевая функция W(j1, j2) принимает наименьшее значение по одной координате j1 и наибольшее значение по другой координате j2. В окрестности седловой точки для любых значений j1, j2 всегда выполняется: W(j1*, j2) £W(j1*, j2*) £W(j1, j2*).

На рисунке приведены примеры задачи оптимизации функции двух переменных при отсутствии ограничений.

Достаточным условием существования безусловного относительного экстремума функции W(j) является то, чтобы матрица Гессе Нв точке j0 (Н|j0) была либо положительно определенной (тогда j0 – точка минимума), либо отрицательно определенной (тогда j0 – точка максимума).

Матрица Гессе Несть матрица вторых производных W(j). С помощью данной матрицы исследуется знак квадратичной формы , коэффициенты которой определяются соотношениями

.

Квадратичная форма может быть положительно и отрицательно определенной. Ответ о знаке квадратичной формы дает теорема, которая формулируется следующим образом. Для положительной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы были выполнены условия Сильвестра – все главные миноры матрицы должны быть строго положительны.

Например, для W(j1, j2, j3)= j1+2j3+j2j3–j12–j22–j32 матрица Гессе Н|j0 имеет вид:

,

т. к. необходимое условие экстремума ÑW(j0)=0, то

¶W/¶j1 =1–2j1 = 0, ¶W/¶j1 = j3–2j2 = 0, ¶W/¶j1 = 2+j2–2j3 = 0.

Для того, чтобы матрица Гессе Н|j0 была положительно определенной (все ее собственные значения были положительны), необходимо и достаточно, чтобы все k-е главные миноры Δk матрицы были положительны. Для того, чтобы неособенная квадратная матрица Гессе Н|j0 была положительно полуопределенной необходимо и достаточно, чтобы все k-е главные миноры Δk матрицы были положительны или равны нулю.

Для того чтобы матрица Гессе Н|j0 была отрицательно определенной (все ее собственные значения были отрицательны), необходимо и достаточно, чтобы k-е главные миноры Δk матрицы были отличны от нуля и имеют знак (–1)k, k=1, 2, …,n. Для того чтобы неособенная квадратная матрица Гессе Н|j0 была отрицательно полуопределеннойнеобходимо и достаточно, чтобы k-е главные миноры Δk матрицы были равны нулю или имели знак (–1)k, k=1, 2, …,n.

Во всех остальных случаях, когда знаки главных миноров не удовлетворяют комбинациям, описанным выше, матрица Гессе Н|j0 является неопределенной.

Главным минором Δk неособенной квадратной матрицы называется определитель, образованный элементами, стоящими на пересечении k выделенных строк матрицы и k выделенных столбцов матрицы, причем номера выделенных строк и столбцов матрицы совпадают.

Так, в нашем примере Δ1 и Δ3 – отрицательны, Δ2 - положительный:

Δ1=a11=–2; Δ2=

Δ3=

Таким образом, матрица отрицательно определена.






Дата добавления: 2016-05-28; просмотров: 1939; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.013 сек.