Модель фильтрационного течения

Моделирование фильтрационного течения по отношению к пространственному изменению параметров может проводиться в: одномерной постановке, т.е. когда параметры являются функцией только одной переменной - это течение по прямой или кривой; двухмерной постановке - течение по плоскости и трехмерной - течение в пространстве.

Флюиды различны по степени сжимаемости. Так природный газ способен значительно изменять свой объём при изменении давления, вода и нефть в довольно значительном диапазоне давлений (приблизительно до 20 МПа) практически несжимаемы, а при высоких давлениях обладают упругими свойствами. В связи с указанными факторами различают модели сжимаемой, несжимаемой и упругой среды. Построение каждой из указанной модели требует привлечения эмпирических уравнений состояния, т.е. соотношений связывающих изменение объёма с изменением давления.

В области контакта флюидов при вытеснении одного другим или при выделении одного флюида из другого в каждом микрообъёме содержится два или больше флюидов, занимающих отдельные четко различимые объёмы (пузырьки газа в жидкости, капли или плёнки в газе) и взаимодействующих на поверхностях раздела. Такие системы называют многофазными (двух, трёх и т.д.) в отличие от многокомпонентных смесей (природный газ, нефть), в которых взаимодействие происходит на молекулярном уровне и поверхности раздела выделить нельзя. В гидродинамике такие среды называют однофазными или гомогенными.

В процессе движения флюиды испытывают различные деформации (сжатие, кручение, растяжение и т.д.) при изменении нагрузки (трение соседних объёмов, внешние силы), которая, отнесённая к единице площади, получила название напряжения. Само соотношение, связывающее деформацию или скорость изменения деформации с напряжением, называется реологическим соотношением или законом. Наиболее часто, применительно к жидкостям, для описания действия касательных напряжений t_xy на сдвиговую деформацию применяют соотношение Ньютона

,

где u_x- скорость в направлении х; у - направление перпендикулярное х;h - коэффициент динамической вязкости. Довольно часто движение флюидов не подчиняется данному закону, н.п. при сдвиге пластовой нефти требуется некоторое, отличное от нулевого, напряжение, чтобы разорвать образованные пластовой водой коллоидные структуры. Такие среды называются неньютоновскими, а модель - моделью неньютоновского течения.

Линейный закон фильтрации Дарси

Закон Дарси показывает, что между потерей напора и расходом существует линейная связь и в дифференциальной форме имеет вид

,

где напор , р– давление; g- удельный вес;z - высота положения;

а

(a)- декартовые координаты; (b) - сферические координаты; (c) - цилиндрические координаты; i, j, k , e_Q , e_j , e_r , e_z - единичные вектора по осям координат x, y, z , Q, j, r и z (цилиндрическая система).

Коэффициент фильтрации с характеризует среду и жидкость одновременно, т.е зависит от размера частиц, от их формы и степени шероховатости, пористости среды, вязкости жидкости. Этот коэффициент обычно используется в гидротехнических расчетах, где приходится иметь дело с одной жидкостью - водой. При наличии различных жидкостей, что чаще бывает в подземной гидромеханике, использовать его неудобно. Поэтому закон Дарси записывается обычно в несколько ином виде

или ,

где h- коэффициент динамической вязкости; k- коэффициент проницаемости, характеризующий среду; р^* = g H - приведённое давление, равное истинному при z = 0.

Границы применимости закона Дарси

Закон Дарси справедлив при соблюдении следующих условий:

a) пористая среда мелкозерниста и поровые каналы достаточно узки;

b) скорость фильтрации и градиент давления малы;

с) изменение скорости фильтрации и градиента давления малы.

При повышении скорости движения жидкости закон Дарси нарушается из-за увеличения потерь давления на эффекты, связанные с инерционными силами: образование вихрей, зон срыва потока с поверхности частиц, гидравлический удар о частицы и т.д. Это так называемая верхняя граница. Закон Дарси может нарушаться и при очень малых скоростях фильтрации в процессе начала движения жидкости из-за проявления неньютоновских реологических свойств жидкости и её взаимодействия с твёрдым скелетом пористой среды. Это нижняя граница.

Верхняя граница. Критерием верхней границы справедливости закона Дарси обычно служит сопоставление числа Рейнольдса Re = war/h с его критическим значением Re_кр, после которого линейная связь между потерей напора и расходом нарушается. В выражении для числа Re: w -характерная скорость течения: а - характерный геометрический размер пористой среды; r - плотность жидкости. Имеется ряд представлений чисел Рейнольдса, полученных различными авторами при том или ином обосновании характерных параметров. Наиболее употребима формула Щелкачёва

Критическое число Рейнольдса Re_кр=1-12.

Скорость фильтрации u_кр, при которой нарушается закон Дарси, называется критической скоростью фильтрации. Нарушение скорости фильтрации не означает перехода от ламинарного движения к турбулентному, а вызвано тем, что силы инерции, возникающие в жидкости за счёт извилистости каналов и изменения площади сечения, становятся при u>u_кр соизмеримы с силами трения.

Нижняя граница. При очень малых скоростях с ростом градиента давления увеличение скорости фильтрации происходит более быстро, чем по закону Дарси. Данное явление объясняется тем, что при малых скоростях становится существенным силовое взаимодействие между твердым скелетом и жидкостью за счет образования аномальных, неньютоновских систем, например, устойчивые коллоидные растворы в виде студнеобразных плёнок, перекрывающих поры и разрушающихся при некотором градиенте давления t_н, называемого начальным и зависящим от доли глинистого материала и величины остаточной водонасыщенности. Имеется много реологических моделей неньютоновских жидкостей, наиболее простой их них является модель с предельным градиентом

Нелинейные законы фильтрации

От точности используемого закона фильтрации зависит достоверность данных исследования скважин и определение параметров пласта. В связи с этим в области нарушения действия закона Дарси необходимо введение более общих, нелинейных законов фильтрации. Данные законы разделяются на одночленные и двухчленные.

Одночленные законы описываются степенной зависимостью вида

где C, n - постоянные, 1£ n £ 2.

Данные зависимости не удобны, т.к. параметр n в общем случае зависит от скорости фильтрации. В связи с этим наибольшее употребление нашли двухчленные зависимости, дающие плавный переход от закона Дарси к квадратичному, называемому формулой Краснопольского

Коэффициенты А и В определяются либо экспериментально, либо теоретически. В последнем случае

где b- структурный коэффициент и по Минскому определяется выражением

Уравнения течения

Течение в пласте считается потенциальным, т.е. существует некоторая функция j, называемая потенциалом, градиент которой равен соответствующим проекциям вектора количества движения (массового расхода)

.

Введение потенциала позволяет определить параметры течения в общем виде и перейти к конкретному виду флюида и коллектора путем простой подстановки в общие решения конкретного вида потенциальной функции.

В этом случае закон Дарси перепишется в виде

и распределение потенциала подчиняется уравнению

,

а для установившегося течения

.

Уравнения называют уравнениями Лапласа относительно функции j, а оператор Dj оператором Лапласа.

;

где: (a) - декартовые координаты; (b) - сферические координаты; (c) - цилиндрические координаты.

Установившаяся потенциальная одномерная фильтрация