Класс моделей точечных объектов

Базовый класс объектов, определяющих свойства территории, вполне естественно образуют точечные объекты. В пространственной БД множество таких объектов Pзадается множеством координат точек положения этих объектов:

,

где P_j –j-й точечный объект, положение которого определяется парой координат (X_i, Y_j). Значение координат положения объекта может задаваться с любой точностью в диапазоне от нуля до максимальных значений координат X_max, Y_max того масштаба, в котором представлена цифровая карта рассматриваемой территории. В дальнейшем для единообразия индексы координат X и Y будем обозначать одной буквой j. Наиболее простой моделью влияния является симметричная, задаваемая какой-либо аналитической функцией. Эти модели можно разделить на две группы: с конечным радиусом влияния Rj (см. выражение (24) и с бесконечным. На рис. 22 представлены графики симметричных функций влияния с конечным радиусом (рис. 22, а и 22, б) и с бесконечным (рис. 22, в).

а б в

Рис. 22. Примеры графиков функций влияния:

а,б – графики симметричных функций влияния с конечным радиусом;

в – графики симметричных функций влияния с бесконечным радиусом

На первом графике (рис. 22, а) отображена линейная зависимость

, (32)

где в соответствии с обозначениями, принятыми в выражении (24), r_ij –
– расстояние от i-й точки до j-го объекта, S_j – максимальное значение влияния объекта (коэффициента веса) при r_i= 0, т.е. в самой точке положения объекта, k_j – параметрический коэффициент, отражающий определенные свойства объекта.

Радиус, или диапазон, влияния объекта определяется из условия S_ij = 0. Например, для линейной ФПВО (выражение (32)

.

Алгоритм расчета величины влияния объекта (27) предельно прост:

1. определяется .

2. если r_ij ³ R_j , то S_ij =0;

если r_ij < R_j , то вычисляется S_ij .

Задача решается путем перебора для всех iÎI, где I – множество узловых точек ЭУ w_i (см. выражение (10).

Аналогично для графика на рис. 22, б (параболическая зависимость)

. (33)

Радиус (диапазон) влияния вычисляется из выражения

.

Данную группу объектов может определять бесчисленное множество функций f_V, которым соответствуют различные физические или социально-экономические процессы и факторы. Например, функция (32) может отражать уменьшение положительного влияния склада с учетом времени перевозки продукции, а выражение (33) определяет то же самое, но с учетом времени и стоимости перевозки при ограничениях на уровне S_j.

На рис. 22, в представлен график функции влияния, определяемый нормальным законом распределения:

, (34)

где s_j, m_j – соответственно среднеквадратичное отклонение и величина математического ожидания.

Выражение (34) достаточно часто применяется для построения моделей, т.к. нормальный закон распределения наиболее точно описывает пространственное влияние, обусловленное большим количеством слабо коррелированных факторов. Для формирования моделей влияния точечных объектов выражение (34) представим в следующем виде:

. (35)

Теоретически радиус влияния равен бесконечности. Поэтому величинаR определяется по допустимой величине , при которой влиянием объекта можно пренебречь. Зададим эту величину как

, (36)

где n<1 – допустимая часть от максимального значения S_ij.

Подставляя формулу (36) в выражение (35), получим:

или величина радиуса влияния будет определяться как .

Аналогично вычисляются значения R_j и для других видов функций f_V. На практике задание моделей влияния наиболее удобно осуществлять следующими характеристиками: S_j, R_j, f_V, задаваемыми аналитически или таблично. Это обусловлено тем, что величины S_j и R_j имеют наиболее наглядную и подходящую для экспертных оценок интерпретацию. Поэтому коэффициенты, входящие в выражения для f_V (32), (33), (34), должны определяться через R_j.Соответственно для этих выражений получим

при n<1.

При табличной форме задания функции f_V возникает проблема дискретности задания. Задание возможно в виде двумерного массива или трехмерного . Значения табличных величин , как правило, задаются с большей дискретностью, чем значения , соответствующие сетке ЭУ w_i.

Очевидно, выходом является использование при расчете значений S_ijпроцедуры интерполяции табличных значений. Наиболее эффективно интерполяция достигается с помощью сплайнов [32].

Следующим уровнем по сложности являются модели точечных объектов, отражающие несимметричное пространственное влияние. Типичные примеры такого влияния – это модели распространения выбросов из трубы ТЭЦ с учетом розы ветров, разлив воды из скважины с учетом рельефа местности и т.д. В этих моделях величина влияния S_ij зависит не только от расстояния от текущей точки территории до объекта влияния, но и от направления:

, (37)

где r_ij – расстояние между i-й точкой и j-м объектом, a_ij – угол между, например, положительным направлением оси X и линией, соединяющей i-ю точку и j-й объект.

Соответственно радиус влияния (или в этом случае более точно – диапазон) модели такого объекта будет зависеть от угла направления влияния

. (38)

Следовательно, алгоритм расчета величины влияния в i-й точке усложняется:

1. определение .

2. определение .

3. расчет значения или определение этого значения из таблицы с применением процедуры интерполяции.

4. если r_ji ³ R_ij для фиксированного a_ij, то S_ij = 0; если r_ji £ R_ij, то величина S_ij вычисляется или берется из таблицы.

Наиболее сложными являются модели, отражающие действие противоречивых (противоположных по свойствам) факторов влияния объектов, величина которых зависит от расстояния r_ijи угла действия a_ij. Примером этому могут служить промышленные объекты. Их строительство вблизи от жилых кварталов нежелательно из-за возможного ухудшения экологической обстановки, удаленное размещение также нежелательно из-за увеличения затрат на транспортные расходы. Построение такого рода комбинированных моделей предлагается осуществлять путем сложения простых моделей, отражающих действий каждого из противоположных факторов или действий отдельных составляющих, имеющих различные функции влияния (рис. 23).

Простая модель с симметричным

законом влияния

Комбинационная модель Простая модель с асимметричным

с симметричным законом влияния законом влияния

Комбинационная модель с асимметричным законом влияния

Рис. 23. Класс моделей пространственного влияния точечных объектов
(на примере функции влияния по нормальному закону распределения)

Таким образом, результирующее влияние (действие) объекта на i-ю точку территории определяется выражением:

,

где – величина влияния, определяемая k-й функцией или k-й составляющей факторов влияния.

Практически величина N редко превышает 2

.

Совокупность рассмотренных моделей представляет собой трехуровневую иерархию (см. рис. 23), в основу которой положен принцип «от простого к сложному». Представленная структура может служить основой при составлении библиотеки МПВО и для генерации этих моделей методами объектно-ориентированного проектирования.