Уравнения Бернулли для струйки и потока идеальной жидкости

Воспользуемся основным законом механики, а именно: равно-действующая всех сил, действующих на данное тело, равна массе тела, умноженной на ускорение, с которым движется это тело.

Полная сила инерции равна: I=-m(dV/dt). Будучи отнесенной к единице массы, полная сила инерции даст единичную силу инерции.

Ее проекции на координатные оси будут равны:

i_x=-dV_x/dt, i_y=-dV_y/dt, i_z=-dV_z/dt.

Теперь необходимо внести эти составляющие в уравнения Эйлера для гидростатики и получим уравнения всех единичных сил, действующих в движущейся жидкости.

Преобразуем уравнения Эйлера к следующему виду:

После преобразований

Эти уравнения носят название дифференциальных уравнений Эйлера для движущейся идеальной жидкости. Они устанавливают связь между проекциями объемных, массовых сил и скоростей, давлением и плотностью жидкости и являются основой для изучения некоторых вопросов гидродинамики.

Уравнения не учитывают ни сил трения, ни сил сцепления (вязкости), т. к. они получены из уравнений статики, а в статических уравнениях данные величины не фигурируют.

Далее рассмотрим уравнения живых сил, для чего умножим уравнения Эйлера на dx, dy, dz соответственно и сложим их почленно:

.

Для установившегося движения в скобках слева стоит полный дифференциал давления dp. Справа будем иметь:

dx/dt = V_x; dy/dt = V_y; dz/dt = V_z ;

Тогда V_xdV_x = d(V_x²/2); V_ydV_y = d(V_y ²/2); V_zdV_z = d(V_z²/2).

Но сумма полных дифференциалов трех составляющих скорости по осям х, у, z равна полному дифференциалу скорости:

d(V_x²/2)+d(V_y²/2)+d(V_z²/2)=d(V²/2).

Окончательно получим закон живых сил в следующем виде:

d(V²/2) = Xdx + Ydy + Zdz - dp/ρ.

Закон живых сил можно сформулировать в следующем виде: дифференциал кинетической энергии частицы идеальной жидкости при установившемся движении равен сумме элементарных работ сил тяжести и сил давления.

Рассмотрим наиболее важный для практики случай движения жидкости: расположим в несжимаемой жидкости, находящейся под действием силы тяжести в установившемся движении, оси координат так, что ось z была направлена вверх параллельно направлению действия силы тяжести. Тогда X=Y=0, Z=-g (знак «минус» поставлен, так как ось z направлена вверх, а ускорение g − вниз), и уравнение живых сил перепишется в следующем виде:

d(V²/2)=-gdz+dp/ρ.

Перенеся все составляющие в левую часть, получим:

d(V²/2)+gdz+dp/ρ=0.

Разделим каждый член на g и сумму дифференциалов заменим дифференциалом суммы:

После интегрирования получим уравнение Бернулли для элементарной струйки жидкости в установившемся движении:

.

Дифференциал равен нулю, если под знаком дифференциала стоит постоянная величина.

Все три члена уравнения Бернулли представляют собой механическую энергию, поэтому можно сделать следующее заключение: вдоль линии тока несжимаемой и невязкой жидкости запас механической энергии, отнесенный к единице массы, веса или объема остается постоянным.

Механическую энергию жидкости, отнесенную к единице веса, называют полным напором; суммы энергии сил давления и положения, отнесенную к единице веса − статическим напором. Вдоль данной линии тока (в установившемся движении жидкости) сумма скоростного и статического напоров остается постоянной.

Если вспомним, что p/ρg − пьезометрический напор, a z − геометрический, а также введя понятие скоростного (динамического) напора, V²/2g, то можно сказать, что сумма скоростного, пьезометрического и геометрического напоров вдоль линии тока есть величина постоянная.

Так как сумма z+p/ρg представляет собой удельную потенциальную энергию жидкости, a V²/2g −удельную кинетическую энергию, то уравнение Бернулли устанавливает постоянство полной энергии (суммы кинетической и потенциальной энергии) и является частным случаем закона сохранения энергии.

Получим теперь уравнение Бернулли для потока идеальной жидкости, для чего подсчитаем полную энергию жидкости в живом сечении, умножив все составляющие на весовой расход элементарной струйки и проинтегрировав по площади живого сечения :

.

Так как давление распределяется по основному закону гидростатики, то z+p/ρg =const и может быть вынесено за знак интеграла. Кроме того, скорости всех элементарных трубок одинаковы, поэтому также выносятся за знак интеграла. Тогда получим:

.

Возвращаясь теперь к размерности удельной энергии, получим уравнение Бернулли для потока идеальной жидкости:

.

Уравнение не учитывает потерь напора и неравномерности распределения скоростей по сечению потока, возникающих при движении реальной жидкости.

Рассмотрим построение пьезометрической и напорной линии для случая движения идеальной жидкости (рис. 28).

В случае идеальной жидкости полный напор (полная энергия) остается постоянной вдоль всего потока, а потенциальная и кинетическая энергии (гидростатический и скоростной напоры) могут переходить друг в друга. Например: уменьшение диаметра трубопровода приведет к увеличению скорости и скоростного напора, соответственно давление в этом сечении (пьезометрический напор) уменьшится.

Расположим в нескольких сечениях пьезометрические и гидродинамические трубки. Для идеальной жидкости во всех гидродинамических трубках уровень жидкости будет одинаков и выше, чем в пьезометрических на величину скоростного напора (удельной кинетической энергии). Соединим уровни жидкости в пьезометрах, получим пьезометрическую линию. А соединив уровни жидкости в гидродинамических трубках, получим напорную линию. Напорная линия представляет собой горизонтальную линию.

Рисунок 28 − Пример построения пьезометрической и напорной линии для идеальной жидкости