Точность импульсных систем

Точность замкнутой импульсной системы (рис. 1.3) в дискретные моменты времени определяется сигналом ошибки (рассогласования) , который характеризует текущую ошибку. Для оценки точности более удобно ввести, как это сделано для непрерывных систем, понятие установившейся ошибки , которая определяется для достаточно больших моментов времени после затухания переходной (свободной) составляющей процессов и в отличие от текущей ошибки часто является числом. Итак, при вычислении будем полагать, что .

Изображение сигнала ошибки и изображение входа связаны соотношением

,

где передаточную функцию разомкнутой системы будем брать в форме (1.22)

.

Обычно оценивается точность импульсной системы на два вида воздействий: полиномиального и гармонического .

Частными случаями полиномиального воздействия являются единичная ступенчатая функция (скачок по положению) , линейное воздействие (скачок по скорости) и квадратичное воздействие (скачок по ускорению) .

В теории -преобразования существует теорема о конечном значении решетчатой функции (оригинала)

.

Используя эту теорему, можно написать

, (1.57)

где .

Рассмотрим частные случаи. Пусть , , тогда и из (1.57) нетрудно получить . Т.к. соответствует статической системе, то такую ошибку называют статической.

Пусть , , тогда и из (1.57) получим . Такую ошибку будем называть скоростной. Нетрудно проверить, что в данном случае статическая ошибка будет равно нулю.

Пусть , статическая и скоростная ошибки будут равны нулю, появится ошибка по ускорению. При этом все ошибки будут обратно пропорциональны величине .

Итак, можно сделать вывод, который является общим для импульсных систем: точность системы тем выше (ошибки тем меньше), чем выше порядок астатизма системы и больше величина . Так как прямо пропорциональна коэффициенту усиления линейной, непрерывной части системы , то увеличение будет приводить к повышению точности импульсной системы.

Точность системы в установившихся режимах также можно описывать по коэффициентам ошибок , , …, которые имеют аналогичный непрерывным системам смысл и определяются по выражению :

½ , . (1.58)

В частности для системы с астатизмом -го порядка .

Рассмотрим анализ точность системы при воспроизведении гармонического сигнала , амплитуду которого будем полагать равной единице. Тогда в соответствии с (1.43) в установившемся режиме на выходе замкнутой системы сигнал будет иметь вид

, (1.59)

а ошибка в установившемся режиме будет

, (1.60)

где , , , - соответствующие значения модулей и сдвигов фаз, определенные по частотным характеристикам , .

Обычно в теории систем автоматического управления считают, что ошибки воспроизведения гармонического сигнала по фазе не имеют существенного влияния на работу САУ. Ошибки воспроизведения амплитуды из (1.59), (1.60) будут

,

. (1.61)

Обычно , однако в диапазоне низких частот при малом можно считать .

Так же как и для непрерывных систем, для замкнутой импульсной системы можно ввести понятие полосы пропускания: это диапазон частот от 0 до , в котором ошибка воспроизведения гармонического сигнала не превышает заданной величины , т.е. .

Так как , а , то для определения и в (1.61) можно использовать АФЧХ разомкнутой системы .

Если частота входной гармоники достаточно низкая, то несложно показать, что при для статических систем , и . Для астатических систем , и .

Таким образом, на точность воспроизведения гармонического сигнала влияет порядок астатизма и коэффициент усиления непрерывной части системы, входящей в .

В заключение отметим, что все изложенное имеет смысл только для устойчивых систем.

Пример 1.9. Рассмотрим импульсную САУ из примеров 1.3 и 1.7. Передаточная функция непрерывной части , а передаточная функция разомкнутой импульсной системы , , . Рассмотрим случай когда , тогда . В примере 1.7 для условие устойчивости будет .

Найдем и статическую ошибку

.

Из условия устойчивости следует, что при любом конечном ошибку нельзя сделать меньше величины .

Оценим ошибки в такой системе при гармоническом воздействии. Очевидно,

, .

Примем , из условия устойчивости выберем , тогда . Модули частотных характеристик будут

, ,

Пусть , , тогда , . В соответствии с (1.61) имеем , , т.е. ошибки почти совпали. В процентном отношении ошибка составляет 33%.

Пусть , из условия устойчивости выбираем , тогда . При , ошибки в этом случае будут , , т.е. %.