Зависимость энергии электрона в кристалле от его импульса

При разработке многих полупроводниковых приборов, например, лазеров, лавинно-пролетных диодов и т.д., важно знать зависимость энергии электрона в кристалле полупроводника от его импульса или волнового числа: Е(р) или Е(к). Эту зависимость называют дисперсионной. Для свободного электрона она имеет вид:

, т.к. , то .

Сложнее дело обстоит в кристалле. Электроны в кристалле движутся в периодическом потенциальном поле кристаллической решетки и движение их ограничено объемом кристалла. Электрон обладает волновыми свойствами. При распространении в кристалле электронная волна будет испытывать отражение от потенциальных барьеров (это рассматривали ранее). Следовательно, в кристалле возникают бегущие волны, распространяющиеся в противоположных направ-лениях (рис.3.6). Но при некоторых значениях волнового числа k = 2p/lв результате наложения прямых и отраженных бегущих волн образуется стоячая волна. Условие образования стоячей волны: на длине кристалла Lукладывается целое число электронных полуволн. Поскольку кристалл образован целым числом атомов, то получим:

, n = 1,2,3…,

на межатомном расстоянии укладывается целое число электронных полуволн.

Но стоячая волна энергии не переносит. Движущийся же в кристалле электрон должен переносить энергию и ему обязательно должна соответствовать бегущая электронная волна. Поэтому иметь в кристалле значения волнового числа:

n = 1,2,3…

электрон не может. Таким образом, для электрона в кристалле разрешены не все значения волнового числа и, соответственно, не все значения энергии. Зависимость Е(р) испытывает разрывы. Следовательно, энергетический спектр электрона в кристалле состоит из разрешенных зон, разделенных запрещенными зонами энергии. Полученная диаграмма называется зонной энергетической диаграммой.

Видно, что в нечетных зонах (n = 1, 3, 5…) минимум энергии электрона приходится на значения k = 0 и два максимума при k =±p/а. В четных зонах наоборот. Минимум энергии называется дном зоны, а максимум энергии – потолком зоны.

В реальных трехмерных кристаллах качественная сторона рассматриваемых явлений остается той же. Но вид дисперсионных кривых имеет более сложный характер в силу анизотропии кристаллов (рис.3.8).

Если минимум энергии электрона в зоне проводимости и максимум энергии в валентной зоне расположены напротив друг друга, то полупроводник называется прямозонным (GaAs, рис.3.8). Если они сдвинуты относительно друг друга, то полупроводник не прямозонный (Si, рис.3.8).

Следует отметить, что вблизи дна или потолка энергетической зоны зависимость E(k) носит квадратичный характер, т.е. Е ~ k².