Граничні теореми у схемі Бернуллі
Знаходження ймовірності за схемою Бернуллі ускладнюється, якщо п дуже велике і р або q дуже малі числа.
Для такого випадку застосовують наближені формули:
а) формула Пуассона
Справедлива наближена рівність
, де 
, 
(8)
Ця формула дає досить точне наближення при 
та р близьких до нуля (р<0,1), тобто для подій, які рідко трапляються.
Задача.19. Середній брак при виробництві продукції становить 0,1%. Перевіряється партія з 1000 деталей. Яка ймовірність того, що бракованих буде 4 деталей?
Розв’язання. За умовою задачі n=1000, p=0,001→0, λ=np=1000*0,001=1. При таких умовах застосовуємо формулу Пуассона: 
. Отже, маємо 
.
Відповідь: 0,0153.
б) локальна теорема Муавра-Лапласа
Справедлива наближена рівність
, (9)
де 
, 
– локальна функція Муавра-Лапласа.
Функція 
парна. Таблиця значень функції наведена у додатку 2. Формула (9) дає добре наближення, якщо п достатньо велике, а 0<р<1.
Задача 20. При виробництві деякої продукції ймовірність виготовлення 1-го сорту приймається рівною 0,60. Визначити ймовірність того, що із 100 навмання взятих виробів 65 будуть першого сорту.
Розв’язання Нехай подія А – виготовлення виробу першого сорту. За умовою n=100, k=65, p=0,60, q=0,40. Оскільки n достатньо велике число, p не прямує ні до 0, ні до 1, то скористаємося локальною теоремою Муавра-Лапласа: 
.
.
За таблицею значень локальної функції Лапласа (додаток 2) знаходимо, що 
. Тому шукана ймовірність
.
Відповідь: 0,045.
в) інтегральна теорема Муавра-Лапласа
Ймовірність того, що при п незалежних випробуваннях, в кожному з яких подія А може відбутися з ймовірністю р (0<р<1), подія А відбудеться не менше к1 і не більше к2 разів, наближено дорівнює
(10)
де 
– інтегральна функція Муавра-Лапласа.
Функція 
непарна. Таблиця значень інтегральної функції наведена у додатку 3. Для всіх значень х≥5 можна вважати 
.
Задача 21. Ймовірність виходу з ладу одного приладу дорівнює 0,1. Визначити ймовірність того, що за час Т зі 100 приладів вийде з ладу від 6 до 18 приладів.
Розв’язання За умовою задачі n=100, k1=6, k2=18, p=0,1, q=1‑p=1‑0,1=0,9. Скористаємося інтегральною теоремою Муавра-Лапласа: 
.
.
За таблицею значень інтегральної функції Лапласа (додаток 3) знаходимо:
Ф(2,66)=0,4961, Ф(-1,33)=-Ф(1,33)=-0,4082.
Тому 
.
Відповідь: 0,9043.
Дата добавления: 2022-02-05; просмотров: 423;
Поиск по сайту
Публикации по технике и механике
Публикации по биологии
Публикации по информатике
Публикации по строительству
Публикации по физике
Публикации по химии
Публикации по электронике
Публикации по искусству
Публикации по истории
Публикации по медицине
