Уравнение первого закона термодинамики для потока

Рисунок 2-6

Рассмотрим уравнение первого закона термодинамики (2-15а):

Здесь индексы 1 и 2 относим к двум сечениям потока (рис.2-6). Проанализируем, из чего складывается для потока фигурирующая в этом уравнении величина ; для этого выясним, какие виды работы производит движущийся поток газа (жидкости).

Итак, рассмотрим поток в канале произвольной формы (см. рис. 2-6). Между сечениями 1 и 2 может быть подведено некоторое количество тепла .

Площадь сечения 1 канала обозначим через , а сечения 2 – через . Давления, которые имеет движущееся вещество в сечениях 1 и 2, обозначим соответственно через и . Количество вещества, проходящего через поперечное сечение потока в единицу времени (массовый расход), обозначим через . Безразлично, какое сечение выбрать для измерения расхода : в соответствии с известным из гидравлики принципом неразрывности потока массовый расход стационарного потока одинаков для любого сечения канала ( ).

- тепло, сообщенное телу при нагревании от состояния 1 до 2

- изменение внутренней энергии тела от 1 до 2

- работа, совершаемая телом в процессе 1-2.

Определим работу, совершаемую потоком.

Для того чтобы ввести в рассматриваемый участок канала через сечение 1 в единицу времени порцию газа (жидкости) массой , нужно затратить некоторую работу, расходуемую на то, чтобы вытолкнуть из рассматриваемого участка канала такую же порцию газа и освободить тем самым место для поступающей новой порции газа. Обозначим через длину пути, проходимого рассматриваемой порцией газа за единицу времени через сечение . Сечение этой порции газа можно для наглядности представить себе перемещающимися без трения поршнем (поскольку сечение канала в общем случае переменно, то условный поршень должен иметь изменяющееся сечение; эта условность никак не влияет на получаемые результаты). Для того чтобы переместить этот поршень на расстояние , нужно совершить работу, равную произведению силы, действующей на поршень (эта сила равна произведению давления газа на площадь сечения поршня ), на длину пути, пройденного поршнем за единицу времени:

Обозначим:

где - объем газа, поступившего в рассматриваемый участок канала за единицу времени. Очевидно, что

где - массовый расход газа в канале, - удельный объем газа в сечении 1.

Таким образом,

(2-57)

Заметим, что - работа, производимая над потоком, и поэтому величина считается отрицательной [знак минус в (2-57)].

Работа, которую производит, перемещаясь, поршень, помещенный в сечение 2, подсчитывается аналогичным образом:

В соответствии со сформулированным выше принципом неразрывности потока массовый расход газа через сечение 2 тот же, что и через сечение 1, поэтому

(2-58)

- это работа, которую производит поток (поршень 2), выходящий из сечения 2. Следовательно, эта работа считается положительной.

Из (2-57) и (2-58) следует, что при протекании газа с расходом через участок канала между произвольно выбранными сечениями 1 и 2 за единицу времени совершается работа, равная алгебраической сумме работы , которую производит поршень 2, и работы , которая производится над поршнем 1 (эта работа носит название работы проталкивания),

откуда в соответствии с (2-57) и (2-58) имеем:

. (2-59)

Работа проталкивания – это первая часть работы, которую совершает поток.

Далее, если скорость потока в сечении отличается от скорости в сечении , то для изменения кинетической энергии потока, определяемого соотношением (2-56), также должна быть сообщена (или отобрана) энергия

Это - вторая составная часть работы, совершаемой потоком. Если сечения 1 и 2 расположены на разной высоте (соответственно и ), то должна быть затрачена работа для того, чтобы поднять рассматриваемую порцию газа с высоты на высоту . Эта работа равна изменению потенциальной энергии порции газа массой ; в соответствии с (2-12)

Это третья составная часть работы, совершаемой потоком.

Следовательно, работа, которую совершает движущийся поток газа (жидкости) в общем случае записывается следующим образом:

(2-60)

Подставляя соотношение, полученное для величины , в уравнение первого закона термодинамики (2-15а), получаем:

(2-61)

Деля обе части этого уравнения на G, получаем это же соотношение для единицы массы потока (т.е. в удельных массовых величинах):

(2-62)

В дифференциальной форме это уравнение запишется в виде

(2-63)

С учетом того что

получаем

(2-64)

(2-65)

Уравнения (2-64) и (2-65) представляют собой запись первого закона термодинамики для потока.

Сравним теперь дифференциальное уравнение первого закона термодинамики, записанное в самом общем виде для произвольной системы, с частным случаем этого уравнения для потока. Первое из этих уравнений – уравнение (2-23):

второе – уравнение (2-63)

По своему существу уравнения (2-23) и (2-63) идентичны – они выражают первый закон термодинамики. На этом основании можно приравнять правые части этих уравнений. Тогда

(2-69)

Это соотношение показывает, что работа, расходуемая на проталкивание потока , на изменение кинетической энергии потока, , на изменение потенциальной энергии потока , на преодоление сил трения , и техническая работа совершается за счет работы расширения газа (или жидкости), движущегося в потоке, . Это и понятно: если газ в потоке расширяется (т.е. возрастает его удельный объем ), то обязательно совершается работа, связанная с увеличением ; дифференциал этой работы всегда равен .

Для любого потока

Если , то

Для адиабатного потока

Интегрируя уравнение (8-3) между двумя точками потока, получаем:

(8-8)

откуда

(8-9)

К решению задачи об определении скорости потока в точке 2 по известным значениям термических параметров состояния и скорости в точке 1 и давления в точке 2 можно подойти и другим путем.

Напомним, что, как показано в гл. 2, для течения без трения при и справедливо уравнение (2-73)

Интегрируя это соотношение, имеем:

(8-10)

или, что то же самое,

(8-10а)

Отсюда

(8-11)

Скорость звука

Как известно, скоростью звука называется скорость распространения в среде малых возмущений (малыми называются такие возмущения среды, в которых местное изменение давления среды в точке возмущения, т.е. амплитуда давления, пренебрежимо мало по сравнению с общим давлением).

Отсюда следует, что скорость распространения малых возмущений (скорость звука в среде) определяется соотношением

(8-21)

Для расчета скорости звука в газах это уравнение впервые было применено в 1687 г. Ньютоном. Для того чтобы воспользоваться уравнением (8-21), нужно знать, как происходит процесс распространения звуковых волн, т.е. для таких условий следует вычислять производную .

Ньютон считал, что процесс распространения звука в газе происходит в изотермических условиях. Воспользовавшись уравнением Бойля – Мариотта для изотермического процесса в идеальном газе

откуда следует, что

, (8-22)

Ньютон вычислил скорость звука в воздухе при атмосферном давлении и комнатной температуре (при этих параметрах воздух с хорошим приближением можно рассматривать как идеальный газ). Однако в прямых измерениях скорости звука в воздухе было получено значение , примерно на 20% превосходящее величину, найденную Ньютоном.

Причина этих расхождений была установлена Лапласом, который отметил, что поскольку звуковые колебания в среде распространяются очень быстро, то сколько-нибудь заметного теплообмена между зонами разрежения и сжатия звуковой волны и окружающей средой не успевает произойти, поэтому колебания среды при распространении звуковой волны можно считать адиабатными и изоэнтропными. Поэтому производную, стоящую в уравнении (8-21), следует брать при условии , т.е.

(8-21а)

Уравнение (8-21а) носит название уравнения Лапласа. Уравнение Лапласа позволяет по известной величине вычислить скорость распространения звука в среде.

Запишем уравнение Лапласа (8-21а) в следующем виде:

(8-23)

где - величина, обратная адиабатной сжимаемости вещества.

Поскольку величины и являются функциями состояния, величина скорости звука , определяемая уравнением Лапласа, также является термодинамической функцией состояния.