Формирование понятия числа как количественной характеристики множеств. Виды работы по преодолению феномена Пиаже.

Представление о числах, их последовательности, отношениях, месте в натуральном ряду формируется у детей дошкольного возраста под влиянием счета и измерения. Большое значение при этом имеют операции классификации и сериации.

Освоение детьми счета — длительный и сложный процесс. Истоки счетной деятельности усматриваются в манипуляциях детей раннего возраста с предметами. Счет как деятельность состоит их ряда взаимосвязанных компонентов, каждым из которых ребенок должен овладеть: соотнесение слов-числительных, называемых по порядку, с предметами, определение итогового числа. В результате этой практической деятельности осваивается последовательность чисел.

Счет как деятельность формируется поэтапно:

1 этап - 1,5-2 года. Детей привлекают разнородные виды множественности: предметов, звуков, движений. Все движения с предметами сопровождаются повторением одного и того же слова: «вот», «вот» ...,«вот».., или «еще...», «еще...», или «на ... на ...на». или хаотическим называнием чисел: «раз, один, пять...». Иногда каждое повторяемое ребенком слово соотносится с одним предметом или с одним движением, между словом и предметом устанавливается соответствие. Слово помогает выделить элемент из множества однородных предметов, движений, более четко отделить один предмет от другого, способствует ритмизации действий. При этом устанавливается еще не осознанное ребенком взаимно однозначное соответствие между предметом, движением и словом.

Это еще стихийно используемый ребенком прием, однако он служит подготовкой к счетной деятельности в будущем. Такие действия с множествами можно рассматривать как начало развития счетной деятельности. Дети легко усваивают простые считалки, отдельные слова-числительные и используют их в процессе движений, игр.

Предметные действия детей раннего возраста (1,5—2,5 года) являются пропедевтикой счетной деятельности.

2 этап - 2-3 года. Появляется интерес к сравнению множеств (наложение, приложение). Все эти факты свидетельствуют о стремлении детей определить численность той или иной совокупности или размеров предметов - больше, меньше, поровну. Это первые попытки познать число путем сравнения.

В раннем возрасте (2—3 года) дети от хаотического познания числительных под влиянием обучения переходят к усвоению последовательности чисел в ограниченном отрезке натурального ряда. Как правило, это числа 1, 2, 3.

Дальнейшее упорядочение чисел происходит следующим образом: увеличивается отрезок запоминания последовательности числительных, дети начинают осознавать, что каждое из слов-числительных всегда занимает свое определенное место, хотя они еще не могут объяснить, почему три всегда следует за двумя, а шесть — за пятью. При этом возникают рече-слухо-двигательные связи между называемыми числительными.

В усвоенной цепочке слов (раз, два, три и т. д.) для ребенка совершенно невозможна замена слова раз словом один: образовавшиеся связи разрушаются и ребенок молчит, не зная, что должно следовать за словом один (в некоторых же случаях, в угоду старшим, ребенок (2,5—3 года) называет слово один как предшествующее всей выученной им цепочке).

Встречаются и такие случаи, когда ребенок первые два-три слова-числительные воспринимает как одно слово: делая ударение на первом слоге раз-два-три или раз-два. В таких случаях он относит этот комплекс слов к одному движению или предмету.

Таким образом, в раннем возрасте под влиянием активных действий с предметными совокупностями у детей складывается рече-слухо-двигательный образ натурального ряда чисел. Под влиянием обучения у них появляется интерес к сравнению предметов по их размеру и численности. Подобное поведение характеризует в основном детей в начале третьего года жизни и может рассматриваться как качественно новый этап в развитии счетной деятельности.

Тенденция к сравнению проявляется у детей различно. Одни накладывают предметы один на другой, другие прикладывают предмет к предмету. Это первые способы оценки детьми численности, размеров предметов, их измерения. Сравнивая объекты, дети пытаются установить отношение равенства или неравенства (больше, меньше, поровну). Потребность в количественной оценке путем сравнения возникает как подражание действиям взрослых в различных практических действиях с предметами.

Под влиянием обучения дети в 3 года осваивают умение поэлементно сравнивать одну группу предметов с другой, практически устанавливая между ними взаимно однозначное соответствие. На этом этапе следует учить не словам-числительным, а сравнению множеств путем установления соответствия между его элементами: накладывать предметы один на другой, раскладывать их один под другим или составлять пары, взяв по одному предмету из каждой группы. При таком сопоставлении дети могут видеть равенство или неравенство групп предметов, определяя большую или меньшую по количеству группу, множество из двух, умеют показать лишние элементы или указать место, где их не хватает, указывая на равночисленность групп, пользуются словами и выражениями: поровну или здесь столько же, сколько там, не называя чисел.

3 этап – 3-4 года. Освоение детьми последовательности чисел в процессе счета ими предметов, звуков, движений и составляет содержание этого этапа в развитии у них количественных представлений

В развитие счетной деятельности при сопоставлении элементов множеств начинаетвключаться последовательное название слов - числительных. Дети через обучение осваивают операции счета до пяти, соотносят числительные с предметами.

У детей 3—4-летнего возраста вслед за рече-слухо-двигательными образами успешно формируется слуховой образ натурального ряда чисел. Слова-числительные выстраиваются в ряд и называются по порядку, но происходит это постепенно. Вначале упорядочивается лишь некоторое множество числительных, после него числительные называются, хотя и с промежутками, но всегда в возрастающем порядке: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 и т. д.

Однако сформированный у детей слуховой образ натурального ряда чисел еще не свидетельствует об усвоении ими навыков счета.

Счет в этот период очень однообразен. Дети называют слова-числительные: раз (в значении один), два, три, другой (второй), третий и др., показывают при этом на предметы. На вопрос «Сколько?» вновь начинают пересчитывать. Это свойственно всем детям на начальном этапе овладения счетной деятельностью. Они осваивают процесс счета (название чисел, отнесение их к предметам), но последнее названное при этом слово-числительное не соотносят со всем множеством. Такой счет является «безытоговым»

Часто встречающейся ошибкой в этот период является и неточность соотнесения числа с предметом. Ребенок называет одно слово-числительное, показывая при этом на два предмета, и наоборот.

В возрасте 3—4 лет дети, освоившие счет, не могут ответить на вопрос «Какое из чисел идет до числа 4, какое после?». Они начинают или восстанавливать (на пальцах) ряд чисел, или слова до и после заменяют словами впереди, сзади и, называя следующее число, рассматривают его как впереди стоящее. Многие дети, называя следующее число, не могут назвать предыдущее. При выполнении задания найти число, большее на единицу, они мысленно или вслух начинают называть слова-числительные всего ряда, начиная с раз.

Дети понимают, что каждое следующее число больше предыдущего, однако точного представления о предыдущем и следующем числе у них еще нет, что лишает их возможности сразу назвать число, большее или меньшее указанного на единицу.

Так, на основе слухового образа натурального ряда возникает его пространственный образ.

Дальнейшее формирование представлений о числе и натуральном ряде чисел осуществляется под влиянием овладения счетной деятельностью на основе упражнений на уравнение множеств предметов по числу, сравнения множеств и чисел.

Овладевая счетом, дети приобретают умение определять количество предметов в результате осознания итогового значения числа, сравнивать множества и числа с определением отношений между ними (наглядно, в слове). Сравнение чисел (на наглядной основе) раскрывает, выделяет количественное значение числа.

В процессе освоения счета и сравнения двух групп предметов по количеству у детей формируется представление о числе как показателе равночисленности множеств (красных, желтых, белых ромашек по 3; 4 ведерка, 4 совочка, 4 песочницы — игрушек для игр с песком по 4) на основе выделения общих качественных и количественных признаков.

При этом перестраиваются восприятие и мышление детей. У них вырабатывается умение видеть одно и то же количество независимо от внешних несущественных признаков (осознание принципа сохранения количества). Этому способствуют упражнения, убеждающие детей в том, что одно и то же количество может быть представлено из разных объектов, отличаться размером занимаемой площади, расположением.

4 этап – 4-5 лет. Дети усваивают последовательность и наименования числительных, точно соотносят числительное с каждым множеством предметов независимо от их качественных особенностей и форм расположения, усваивают значение названного при счете последнего числа как итогового.

Однако, сравнивая числа, определяют большее из них по дальности его от начала счета или как находящееся впереди (сзади) какого-либо числа, что было свойственно детям на более низком уровне усвоения последовательности чисел.

Освоение счета и сравнение чисел (на наглядной основе, в разных условиях) дает возможность детям выделить число, сравнить совокупность. Число в их представлении постепенно абстрагируется от всех несущественных признаков.

У детей 4—5 лет и старше часто складывается весьма ограниченное представление о значении единицы. Единица ассоциируется у них с некоторым отдельным предметом. Под влиянием обучения дети овладевают умением относить единицу не только к отдельному предмету, но и к группе. Это является основой для понимания десятичной системы счисления.

5 этап - 5-6 лет. Дети осваивают счет с различным основанием единицы, считают уже не отдельные предметы, а группы, состоящие из нескольких предметов. Дети усваивают, что единицей счета может быть целая группа, а не только отдельный предмет.

В старшем дошкольном возрасте дети овладевают измерением. От практического сравнения предметов путем измерения переходят к количественной характеристике его путем подсчета условных мерок. Эта деятельность углубляет представление о числе. Число начинает выступать как отношение целого (измеряемой величины) к части (мере).

Под влиянием овладения двумя видами деятельности, счетом и измерением, у детей формируются четкие представления о месте, порядке следования, количественном значении числа, отношении его к другим числам (в пределах 10).

Достигнутый уровень развития количественных представлений позволяет детям в 5—б лет эмпирически подойти к пониманию принципа построения натурального ряда: каждое следующее число больше предыдущего на 1 и каждое предыдущее меньше следующего на 1.

Итак, общая последовательность развития представлений о числе в период дошкольного детства состоит в следующем: от восприятия множественности (много) и возникновения первых количественных представлений (много, один, мало) через овладение практическими способами установления взаимно однозначного соответствия (столько же, больше, меньше) к осмысленному счету и измерению.

Феномен Пиаже — психологическое явление, наблюдаемое у детей дошкольного возраста и заключающееся в невозможности постижения ими таких характеристик окружающих предметов, как количество, размер, объём и т. п. Этот феномен выражается в ошибках количественного сопоставления характеристик.

Всемирно известный швейцарский психолог Жан Пиаже (1896-1980) провел серию исследований развития у детей понятия (принципа) сохранения количества или величины объектов при изменении их формы. Он обоснованно считал, что понимание сохранения объекта в процессе изменения его формы составляет необходимое условие всякой рациональной деятельности.

Проверка производится рядом опытов, называемых «задачами Пиаже» (англ. Piaget's conservation experiments). Например, ребёнок может указывать, что:

- предметов, положенных в ряд, по его мнению, становится больше, если их же расставить с бо́льшими промежутками.

- кусок пластилина, по его мнению, уменьшается, если из шарика его раскатать в «сосиску» или полоску.

- верёвка становится короче, если её изогнуть.

Феномен объясняют тем, что понимание абстрактных законов происходит в процессе воспитания, не сразу. При этом обычно закон сохранения количества предметов (при их передвижении) постигается ребёнком на 1,5-2 года раньше, чем закон сохранения непрерывного вещества (при деформировании тела).

Отсюда можно сделать вывод, что овладение действием количественного сравнения не происходит спонтанно, как утверждал Ж. Пиаже, а требует специального обучения, в том числе обучения логическим правилам выполнения этого действия.

Л. Ф. Обухова под руководством П. Я. Гальперина провела большое исследование формирования у старших дошкольников принципа сохранения количества по различным параметрам физических величин. Для этого она с помощью методики поэтапного формирования умственных действий учила детей определять размер каждой из сравниваемых величин с помощью выбранной общей мерки и оценивать эти величины по результатам измерения.

В результате этих экспериментов Л. Ф. Обухова сделала вывод, что умение выделять в сравниваемых объектах разные их свойства и каждое из них измерять с помощью какой-то избранной мерки представляет собой необходимое и достаточное условие для формирования у детей полноценного знания о принципе сохранения.

22. Связи и отношения между числами натурального ряда. Методика обучения сравнению смежных чисел.

Теоретические основы формирования элементарных математических представлений у дошкольников включают детальное изучение лишь системы натуральных чисел. Поэтому, говоря «числа», мы имеем в виду натуральные числа.

В конце XIX в. была построена порядковая теория натуральных чисел, которая обычно связывается с именем итальянского математика Джузеппе Пеано (1858–1932), построившего эту теорию аксиоматической основе.

Натуральный ряд обладает следующими интуитивно ясными свойствами (принятыми Пеано в качестве аксиом, характеризующих эту структуру):

I. Единица непосредственно не следует ни за каким натураль­ным числом, т.е. не является «правым соседом» никакого другого натурального числа, это «первое» натуральное число.

II. Для любого натурального числа существует одно и только одно непосредственно следующее за ним натуральное число, т.е. любое натуральное число имеет только одного «правого соседа».

III. Любое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом, т.е. единица не следует ни за каким, всякое другое натуральное число – точно за одним.

Всякое натуральное число, кроме единицы, является «правым соседом» одного и только одного натурального числа, его «левого соседа».

IV. Если какое-нибудь множество М натуральных чисел (M Í N) содержит 1 и вместе с некоторым натуральным числом х содержит и натуральное число х’, непосредственно следующее за х, то это множество совпадает с множеством всех натуральных чисел (M = N).

Предложение IV, хотя по своему содержанию более сложно, чем первые три, также выражает достаточно простое свойство: с помощью последовательного прибавления единицы, начиная с еди­ницы, можно получить все натуральные числа. Всякий раз, когда доходим до некоторого числа х, допускается возможность на­писания непосредственно следующего за ним числа х’.

Натуральный ряд в описанном представлении мыслится потенциально бесконечным. С этой точки зрения процесс его образования незавершаем, предполагается лишь, что после каждого шага процесса мы располагаем возможностью осуществления следующего шага.

Свойства I–IV характеризуют структуру «натуральный ряд» только с точки зрения отношения, названного «непосредственно следует за». Но это построение можно дополнить свойствами, ха­рактеризующими операции сложения и умножения в множестве N.

Расширим теперь систему свойств I–IV таким образом, чтобы получить характеристику структуры (N, 1, ‘, +, •).

Знак + обозначает операцию «сложение», сопоставляющую с каждой парой (х, у) натуральных чисел натуральное число х + у, называемое их суммой и обладающее следующими свойствами:

V. х + 1 = х’, т.е. сумма любого натурального числа х с числом 1 равна непосредственно следующему за х числу х’.

VI. х + у’ = (х + у)' т.е. сумма любого числа х с числом у’, непосредственно следующим за любым числом у, равна числу, непосредственно следующему за суммой х + у.

Знак • обозначает операцию умножения, сопоставляющую с каждой парой (х, у) натуральных чисел натуральное число х•у, называемое их произведением и обладающее следующими я свойствами:

VII. х•1 = х, т.е. произведение любого натурального числа х и числа 1 равно числу х (умножение какого-нибудь числа на единицу не меняет это число).

VIII. х•(у’) = (х•у) + х, т.е. произведение числа х на число, непосредственно следующее за числом у, равно произведению чисел х и у, сложенному с числом х.

Из свойств I–VIII выводятся все остальные свойства порядка и операций сложения и умножения натуральных чисел.

Покажем в качестве примера, как, исходя из перечисленных свойств, можно получить таблицу сложения.

Будем исходить из знания того, что непосредственно следующее число за каждым однозначным числом уже получено:

1’ = 2; 2’ = 3; 3’ = 4; 4’ = 5; 5’ = 6; 6’ = 7; 7’ = 8; 8’ = 9; 9’ = 10.

Исходя из свойства V, получаем таблицу «прибавления единицы»:

Таблица «+1»

1 + 1 = 1’ = 2;

2 + 1 = 2’ = 3;

3 + 1 = 3’ = 4;

………………

9 + 1 = 9’ = 10.

Теперь, зная таблицу «+1» и используя свойство VI, можем вывести, например, чему равно 2 + 2:

2 + 2 = 2 + 1’ = (2 + 1)’ = 3’ = 4.

Аналогично 3 + 2 = 3 + 1’ = (3 + 1)’ = 4’ = 5 и т.д.

Сравнение последовательных чисел натурального ряда вводится с опорой на сравнение множеств.