Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников

Итак, подошли к реализации передаточных функций объектов, проделав последовательность

Эксперимент передаточная функция последовательное соединение различных динамических звеньев.

При синтезе объектов с требуемыми динамическими характеристиками возникает задача реализации их передаточных функций пассивными или активными четырехполюсниками постоянного тока.

Последние содержат пассивные двухполюсники.

Пассивные двухполюсники и четырехполюсники постоянного тока – это электрические цепи из резисторов (активных сопротивлений), конденсаторов и индуктивностей.

Рассмотрим некоторые методы определения [11] электрических схем и параметров двухполюсников и четырехполюсников, состоящих из резисторов и конденсаторов, по передаточным функциям, которые они должны иметь.

Любая передаточная функция может быть реализована пассивным двухполюсником или четырехполюсником из резисторов и конденсаторов с точностью до постоянного множителя.

4.3.1. Разложение передаточной функции активного четырехполюсника

Схема активного четырехполюсника представлена на рисунке 4.11.

Такие четырехполюсники состоят из электронных усилителей и цепей из резисторов, конденсаторов и индуктивностей.

В общем случае четырехполюсник содержит входную цепь с импедансом и цепь с импедансом , которая охватывает усилитель с отрицательной обратной связью.

Обычно используют операционный усилитель с весьма большим передаточным коэффициентом. Тогда передаточная функция четырехполюсника определяется выражением

. (4.18)

Для синтеза двухполюсника активного четырехполюсника передаточную функцию , которую он должен иметь, нужно представить в соответствии с выражением (4.18) в виде отношения

,

где - операторные выражения полного сопротивления двухполюсника прямой о обратной цепи соответственно.

Полное сопротивление может быть реализовано в виде RC–двухполюсника только если оно удовлетворяет следующим условиям:

а) функция - рациональная дробь, у которой степень числителя равна или на единицу меньше степени знаменателя;

б) полюсы (корни полинома знаменателя) и нули (корни полинома числителя) функция - простые, действительные, отрицательные и перемежаются между собой, т. е. между двумя соседними полюсами находится нуль и наоборот;

в) наименьшим по абсолютному значению является полюс, он может равняться нулю;

г) наибольшим по абсолютному значению является нуль; он конечен, если степень числителя функции равна степени знаменателя.

В ряде случаев реализуемые значения удается составить по формулам

,

где - полиномы соответственно числителя и знаменателя функции .

Полином выбирают так, чтобы удовлетворяли условиям реализуемости, он может содержать, в частности, двучлены из полиномов .

4.3.2. Способы синтеза двухполюсников

Схему и параметры RС - двухполюсника можно найти различными способами.

К схемам с наименьшим числом элементов приводят следующие способы.

1 способ.Разложение на простые дроби

Пусть сопротивление , удовлетворяющее ранее перечисленным условиям, можно разложить на простые дроби

. (4.19)

Здесь

(4.20)

где .

Каждый член разложения (4.19) можно реализовать простыми RС – двухполюсниками из числа представленных ниже в таблице.

Таблица 4.2. RС – схемы и их полные сопротивления

RC - схема
Полное сопротивление z(s)

Последовательное соединение таких двухполюсников образует RС – двухполюсник, реализующий заданное полное сопротивление .

2 способ.Разложение в непрерывную дробь

Члены полинома числителя и знаменателя функции нужно расположить по убывающим степеням s, после чего функцию можно разложить в непрерывную дробь.

Пусть степени числителя и знаменателя одинаковы и равны m. Тогда нужно определить первый член частного и результат записать так:

(4.21)

Далее нужно найти первый член частного , которая будет содержать s, т.к. степень на единицу выше степени , т.е.:

. (4.22)

Подставив (4.22) в (4.21), получим:

. (4.23)

Продолжение этого процесса приводит к искомому разложению

. (4.24)

Из разложения (4.24) следует, что есть полное сопротивление схемы, изображенной на рисунке 4.12.

В случае, когда степень числителя на единицу меньше степени знаменателя, полное сопротивление можно представить в виде:

и затем начать разложение его в непрерывную дробь. В результате получим:

. (4.25)

По разложению (4.25) можно получить соответствующую RC-схему полного сопротивления для рассматриваемого случая:

Пример

Активный четырехполюсник постоянного тока, выполняемый по схеме, представленной на рисунке 4.11, должен иметь следующую передаточную функцию:

.

Выяснить, как должны быть выполнены соответствующие двухполюсники и .

Решение.

Преобразуем выражение требуемой передаточной функции.

или

.

Ориентируясь на формулу , выберем передаточные функции двухполюсников так, чтобы они удовлетворяли условиям реализуемости:

.

Найдем схему и параметры двухполюсника обратной связи первым способом.

По формулам (4.13) и (4.14) имеем:

.

На основании таблицы 4.2 определим, что двухполюсник может быть выполнен по схеме, показанной на рисунке 4.14 со следующими элементами:

R=2 МОм; R₁ = 150/25 = 6 МОм; с₁ = 1/150 » 0.0667 мкф.

Далее найдем схему и параметры двухполюсника прямой цепи тем же способом.

По выражениям (4.13) и (4.14) определим:

;

На основании полученного разложения и таблицы 4.2 схема двухполюсника будет иметь вид, представленный на рисунке 4.15.

Определим значения ее элементов:

R₁ = 47.5/10 = 4.75 МОм;

с₁ = 1/47.5 » 0.0211 мкф;

R₂ = 112.5/50 = 2.25 МОм;

с₂ =1/112.5 » 0.0089 мкф; R = 1 МОм.