Треугольник и его элементы.
Треугольником называется множество трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.
Элементами треугольника являются три стороны, три угла, три тройки отрезков: биссектрисы, медианы, высоты. Иногда к ним присоединяют еще серединные перпендикуляры к сторонам.
Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины к прямой, содержащей противоположную сторону.
Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.
Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий данную вершину с серединой противоположной стороны.
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине. Сами углы треугольника называют внутренними.
Теорема: Свойство средней линии треугольника
Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и равна ее половине
Доказательство: самостоятельно
Теорема: Сумма углов треугольника равна 180°
Доказательство: самостоятельно
Теорема: Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, несмежных с ним
Доказательство: самостоятельно
Следствие: Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла треугольника, несмежного с ним.
Доказательство: самостоятельно
Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны.
Свойства равнобедренного треугольника:
1) В Равнобедренном треугольнике углы при основании равны
(обратно: Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный)
2) Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является биссектрисой и высотой
(без доказательства)
Прямоугольным называется треугольник, у которого один угол прямой.
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов
(без доказательства)
Два треугольника называются равными, если стороны и углы обоих треугольников соответственно равны
Основное свойство существования равных треугольников задается аксиомой:
· Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.
Предложения, известные как признаки равенства треугольников, дают необходимые и достаточные условия для того, чтобы два треугольника были равны.
(Сформулировать и доказать самостоятельно три признака равенства треугольников):
1)
2)
3)
4) Если два угла и сторона противолежащая одному из этих углов данного треугольника соответственно равны двум углам и стороне другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство:
ÐА=ÐА'
ÐВ=ÐВ'
ВС=В'С'
т.к. ÐА=ÐА'
ÐВ=ÐВ', то ÐС=ÐС'. Таким образом, по второму признаку равенства треугольников они равны.
5) Если две стороны и угол, лежащий против большей из этих сторон одного треугольника соответственно равен двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство:
АВ=А'В'
ВС=В'С'
ВС>АВ
В'С'>А'В'
ÐА=ÐА'
Методом от противного докажем, что АС=А'С'. Предположим, что АС≠А'С' и для определенности будем считать, что АС<А'С'. Тогда выберем на А'С' такую точку С'', что АС=А'С''. Тогда треугольник DА'В'С''=DАВС (почему?
)
. Отсюда ВС= В'С'', но по условию ВС= В'С', таким образом, треугольник В'С'С'' – равнобедренный, а по свойству равнобедренного треугольника углы Ð2=Ð3. Но Ð1>Ð3 (почему?
)
и Ð2>ÐA' ( почему? )
Таким образом, Ð1>Ð3, но Ð3=Ð2, а Ð2>ÐA', т.е. получаем, что Ð1>ÐA'. из чего следует, что
А'В'> В'С''(почему? ).
Но В'С''=ВС, следовательно, А'В'>ВС что невозможно по условию. Таким образом, АС= А'С' и треугольники DА'В'С'=DАВС равны по первому признаку.
Дата добавления: 2021-12-14; просмотров: 226;