Простейшие геометрические фигуры и их свойства

Элементарная геометрия. Построение курса геометрии. Основные понятия геометрии.

Геометрия – математическая дисциплина, рассматривающая и изучающая свойства различных объектов, расположенных определенным образом в пространстве.

Как и в любой математической дисциплине, определить все понятия, встречающиеся в геометрии, невозможно. Поэтому при любом построении курса элементарной геометрии приходится выделять несколько геометрических понятий, которые берутся за основные, первичные, или неопределяемые. Считается, что эти понятия обладают известными свойствами и зависимостями, которые принимаются без доказательства и называются аксиомами.

К таким неопределяемым понятиям в элементарной геометрии относятся:

· точка

· прямая

· плоскость

· отношение принадлежности для точек, прямых и плоскостей, выражаемое словом «принадлежать»

· отношение порядка для точек на прямой, выражаемой словом «лежать между»

· длина для отрезков и

· градусная мера для углов

Все что предполагается известным об этих понятиях выражается аксиомами. впервые систему аксиом мы встречаем в «Началах» Евклида, однако его система аксиом была неполной.

Современная система аксиом состоит из пяти групп. Например:

· Через любые две точки можно провести прямую и притом только одну

· Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну

(аксиомы принадлежности)

· Если точка В лежит между точками А и С, то все три точки принадлежат одной прямой

· Из трех точек прямой только одна лежит между двумя другими

(аксиомы порядка)

· Через данную точку вне данной прямой можно провести на плоскости не более одной прямой, не пересекающей данную

( аксиома параллельности)

С помощью основных понятий определяются все остальные понятия. Все предложения о свойствах геометрических фигур, не содержащиеся в аксиомах, должны быть доказаны чисто логическим выводом из этих аксиом. Такие предложения называются теоремами.

Предложением, обратным данному, называется другое предложение, в котором заключение полностью или частично совпадает с условием первого предложения и обратно.

Следствием называется предложение, непосредственно вытекающее из теоремы.

Леммой называется подготовительное предложение, вводимое для того, чтобы облегчить доказательство последующего предложения.

Дать определение чему-либо - значит объяснить, что это такое, ссылаясь на неопределяемые понятия или другие понятия, которые уже должны быть известны.

Строение курса геометрии можно охарактеризовать так:

1. Перечисляются основные неопределяемые понятия геометрии

2. Формулируются аксиомы

3. На основе введенных понятий даются определения всем остальным геометрическим понятиям

4. На основе аксиом и определений доказываются аксиомы, которые в свою очередь используются для доказательства других теорем в курсе геометрии.

Простейшие геометрические фигуры и их свойства

Геометрической фигурой называют такие множества точек, которые можно представить состоящими из конечного числа точек (например, треугольник задается тремя точками – своими вершинами, тетраэдр - четырьмя)

Отрезок

Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными ее точками. Эти точки называются концами отрезка.

Полупрямой называется часть прямой, которая состоит из всех точек прямой, лежащих по одну сторону от данной ее точки. Эту точку называют начальной точкой полупрямой.

Две полупрямые одной прямой с общей начальной точкой называются дополнительными.

Углом называется фигура, которая состоит из точки (вершины угла) и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки (сторон угла)

основное свойство измерения углов описывается следующей аксиомой:

· Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°.

Развернутый угол – угол образованный двумя дополнительными полупрямыми.

· Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Говорят, что луч лежит между сторонами угла, если он пересекает любой отрезок с концами на сторонах угла.

· От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой и притом только один

Биссектрисой угла называется луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит угол пополам.

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие – дополнительные полупрямые.

Теорема: Сумма смежных углов равна 180°.

Доказательство: самостоятельно

Следствие1: Если два угла равны, то смежные с ними углы равны

Следствие2: Если угол неразвернутый, то его градусная мера меньше 180°.

Угол, градусная мера которого равна 90°, называется прямым.

Следствие3: угол, смежный с прямым – прямой.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми для сторон другого угла.

Теорема: Вертикальные углы равны

Доказательство: самостоятельно