Определение реакций опор составных конструкций

Статический расчет инженерных сооружений во многих случаях сводится к рассмотрению условий равновесия конструкций, состоящих из системы тел, соединенных шарнирами. Связи, соединяющие части конструкций между собой, называются внутренними, в отличие от внешних связей, скрепляющих конструкцию с телами, в нее входящими. Рассмотрим составную конструкцию типа арки (рис.7.3а). Конструкция является статически определимой системой.

При действии внешней нагрузки на конструкцию в каждой опоре возникает по две реакции, всего четыре неизвестные реакции. Вертикальные реакции обозначим через V_А и V_В, горизонтальные – через Н_А и Н_В (рис.7.3б).

Кроме трех уравнений равновесия, которые дает статика для системы сил, расположенных в одной плоскости, для расчета конструкции можно составить четвертое уравнение, основанное на том, что линия действия равнодействующей всех сил, приложенных к левой (а также и к правой) половине, должна пройти через врезанный шарнир С, так как в противном случае равнодействующая создала бы не нулевой момент относительно шарнира С и левая (или правая) половина арки вращалась бы вокруг оси С.

Так как по теореме Вариньона момент равнодействующей равен алгебраической сумме моментов составляющих ее сил, то четвертое дополнительное уравнение статики можно сформулировать следующим образом.

а		б
Рис.7.3

Алгебраическая сумма моментов сил, действующих на левую или правую половину составной конструкции относительно точки С (врезанного шарнира), равняется нулю, т.е.

.

Пример 3. Определить опорные реакции от наклонной силы Р=5 кН, действующей на конструкцию, представленную на рис.7.4а, при cos a = 0,6, sin a = 0,8; на рисунке размеры конструкции в метрах.

Решение. Раскладываем силу P на вертикальную и горизонтальную составляющие: . Рассмотрим всю конструкцию, освободив ее от связей, т.е. от шарнирно неподвижных опор А и В. Неизвестные по величине и направлению силы реакций шарнирных опор разложим на составляющие V_A, H_A, V_B, H_B , как показано на рис. 7.4б.

Для определения реакции V_A решим уравнение моментов относительно точки В всей конструкции:

а

б

Рис.7.4

Для определения вертикальной составляющей реакции V_В решим уравнение моментов относительно точки А всей конструкции:

Для определения горизонтальной составляющей реакции Н_А, решим уравнение моментов всех сил, действующих на левую половину конструкции, относительно шарнира С:

Для определения Н_В составим сумму проекций всех сил на ось ОX:

.

Сделаем проверку полученных значений:

Пример 4. Две балки АВ и СD соединены шарниром С (рис.7.5а). Определить реакции опор А, В и D и усилие в шарнире С, если на балку действуют пара сил с моментом m=200 Н м, сила Р=80 Н, сила Q=120 Н. Даны размеры: АЕ=4 м, ЕВ=2 м, ВС=3 м, СН=НD=2 м.

Решение. Для определения реакций опор V_А, Н_А, V_В, Н_В составим уравнения равновесия для системы сил (рис.7.5б):

а
б
в
Рис.7.5

.

Знак «минус» у реакции V_А указывает на то, что она направлена не вверх, как предполагалось, а вниз по вертикали.

Для определения усилий в шарнире С, пользуясь методом сечений, рассмотрим равновесие каждого из стержней АС и СD отдельно. При этом, согласно третьему закону Ньютона, реакции х_С и у_С шарнира С, действующие на стержень СD, должны быть направлены противоположно реакциям и , действующим на стержень АС. По модулю же они равны (рис 7.5в). Тогда для стержня СD:

Проверим равновесие стержня АС.

Итак, при решении задач на равновесие твердых тел необходимо выполнить следующие действия:

· выделить твердое тело, равновесие которого надо рассмотреть и приложить к нему соответствующие реакции связей;

· изобразить внешние силы;

· сопоставить число неизвестных величин и число независимых уравнений равновесия; эти числа должны быть равны, если задача является статически определимой;

· выбрать удобные системы координат; для каждого тела и для всей системы тел может быть выбрана своя система координат;

· составить уравнения равновесия для каждого твердого тела или для каждой системы твердых тел, равновесие которых исследуется;

· решить систему уравнений равновесия.

Если система твердых тел разделяется на отдельные тела, то при замене их взаимодействия реакциями связей следует ввести реакции, приложенные к одному телу, и на основании аксиомы равенства действия и противодействия выбрать реакции, действующие на другое тело, равными по модулю и направленными прямо противоположно.