Равновесие системы твердых тел

В статике твердого тела наряду с равновесием одного тела рассматриваются сочлененные системы материальных тел, т.е. совокупности твердых тел, касающихся друг друга своими поверхностями или соединенных друг с другом шарнирами, нитями, стержнями и т.д.

Для определения реакций связей системы твердых тел пользуются методом сечения, при котором наряду с равновесием всей системы тел рассматривается равновесие отдельных тел (или групп тел системы).

Следует заметить, что если система твердых тел разделяется на отдельные тела, то при замене их взаимодействия реакциями связей следует ввести реакции, приложенные к одному телу, и на основании закона равенства действия и противодействия выбрать реакции, действующие на второе тело, равными по модулю и направленными прямо противоположно.

В том случае, когда значение неизвестной силы окажется по ответу отрицательным, направление этой силы следует взять противоположным тому, которое было изображено на рисунке.

При решении задач на равновесие системы твердых тел используют уравнения (6.2) или (6.3-6.5) (см. лекцию 6).

Если по условию задачи требуется определить лишь некоторые неизвестные величины, то надо составить только те из уравнений равновесия, которые необходимы для получения ответа.

Пример 1. Балка АВ длиной L имеет неподвижную опору А, а серединой В^' опирается на ребро консоли балки CD. Определить опорные реакции при действии силы P, приложенной к концу балки АВ (рис.7.1а).

а
б     в
Рис.7.1

Решение. Система твердых тел состоит из двух балок АВ и CD (рис.7.1а). Рассмотрим равновесие каждой из балок отдельно. Реакцию шарнирно-неподвижной опоры R_A, разложим на две проекции V_A и H_A. Тогда балка АВ будет находиться в равновесии под действием сил V_A, H_A, R^' и P (рис.7.1б). Сила R^' образует угол 30^о с вертикалью, так как она перпендикулярна балке АВ.

Составим уравнения равновесия и решим их.

Знак "минус" показывает, что реакция V_A направлена не вверх, как предполагалось, а вниз по вертикали.

Вычислить реакцию R_A, балки АВ можно существенно проще, используя свойства равнодействующей системы параллельных сил (рис.7.1в). Используя (3.4), имеем: линии действия сил параллельны между собой, а их модули связаны пропорцией откуда

Составим уравнения равновесия для балки CD, имея в виду, что силы R^' и R^'' равны по модулю, но противоположны по направлению (рис.7.1в).

Проверка:

.

Пример 2. Два гладких цилиндра А и В помещены в ящик (рис.7.2а). Вес цилиндра А Q=400 Н, его радиус R=8 см; вес цилиндра В Р=300 H, его радиус r=5 см. Определить реакции вертикальных стен в точках С и Е, горизонтального пола в точке D и силу давления одного цилиндра на другой, если ширина ящика 25 см.

Решение. Используя метод сечения, выделим каждый цилиндр, отбросим мысленно стены и пол ящика и рассмотрим равновесие каждого цилиндра в отдельности. Связью для цилиндров являются абсолютно гладкие поверхности, поэтому реакции связей направлены по нормалям к общей касательной в точках соприкосновения в сторону, противоположную тому направлению, в котором связь препятствует перемещению рассматриваемого тела. Итак, цилиндр В находится в равновесии под действием трех сил: веса , горизонтальной реакции стены и силы давления цилиндра А, направленной по прямой, соединяющей центры О и О₁ обоих цилиндров (рис.7.2б). Вычислим угол , образованный реакцией с горизонтом.

Рассмотрим треугольник ОО₁Н (рис.7.2в):

.

Тогда .

Составим уравнения равновесия для цилиндра В (рис.7.2 б):

Откуда .

а		б
в		г		д
Рис.7.2

Цилиндр А находится в равновесии под действием четырех сил: веса , горизонтальной реакции стены , вертикальной реакции пола и реакции цилиндра В, равной по модулю и направленной противоположно силе . Все четыре силы (рис. 7.2г) пересекаются в точке О, центре цилиндра А. Составим уравнения равновесия этих сил. Суммы проекций сил на ось х и ось у равны нулю:

Отсюда находим

.

Следует заметить, что эта задача может решаться и графическим способом. Действительно, зная модуль и направление силы Р, а также направление сил и , строим замкнутый треугольник, который совпадает с треугольником ОО₁Н (рис.7.2,в), если сторону О₁Н положить равной силе Р, тогда сторона ОН даст в этом же масштабе силу F, а сторона ОО₁ силу N.

Далее строим замкнутый силовой многоугольник для сил, приложенных к цилиндру А (рис.7.2д). В масштабе отложим известные силы и . Проводя из конца силы прямую, параллельную , а из начала силы прямую, параллельную T, получим замкнутый силовой многоугольник, стороны которого в избранном масштабе и определяют неизвестные силы.