Физический маятник. Математический маятник

Рис. 4.3

Физическим маятником называется твердое тело, которое может совершать колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси в поле сил тяжести (рис. 4.3). Проведем через центр масс тела С плоскость, перпендикулярную оси вращения. Точка пересечения О этой плоскости с осью вращения называется точкой подвеса. Примем эту точку за начало координат. Оси х и у расположим в плоскости, проходящей через центр масс и точку подвеса, ось z направим по оси вращения (перпендикулярно плоскости xoy).

Дифференциальный закон вращения тела вокруг оси z, согласно (4.4), запишется

. (4.5)

Здесь - момент инерции тела, относительно оси, проходящей через точку подвеса; - угол между неподвижной осью х и линией ОС (рис.4.3).

Так как в этом случае

( )

здеь m – масса тела; а – расстояние от точки О до центра масс (а ); - момент инерции тела относительно оси , проходящей через центр масс С.

Дифференциальное уравнение вращательного движения тела (4.5) c учетом ( ) примет вид

(4.5а)

Знак минус в уравнении означает, что момент силы тяжести направлен против увеличения угла . Если угол отклонения мал, то с большой точностью можно считать , тогда уравнение (4.5а) перепишется в виде

. (4.6)

Полученное уравнение совпадает по форме с дифференциальным уравнением свободных колебаний точки и его общим решением будет

Полагая, что в начальный момент t=0 маятник отклонен на малый угол и отпущен без начальной скорости ( ), найдем для постоянных интегрирования значения А₁=0,А₂= , тогда

Маятник совершает колебания с малой амплитудой , частота и период которых определяются формулами

. (4.7)

Такие колебания называются гармоническими, а уравнение (4.6) называется уравнением гармонических колебаний.

Пусть физический маятник состоит из материальной точки массой m, подвешенной на невесомой нити длиной а и колеблющейся около точки подвеса О. Такой маятник называется математическим. Поскольку момент инерции материальной точки относительно оси z, проходящей через центр С равен нулю, т.е. , из (4.7) находим частоту и период колебаний математического маятника: