Кинетическая энергия вращения

Динамика твердого тела

Момент силы

Рассмотрим движение твердого тела вокруг неподвижной оси. Пусть твердое тело имеет неподвижную ось вращения ОО (рис.3.1) и к нему приложена произвольная сила .

Рис. 3.1

Разложим силу на две составляющие силы , сила лежит в плоскости вращения, а сила – параллельна оси вращения. Затем силу разложим на две составляющие: – действующую вдоль радиус-вектора и – перпендикулярную ему.

Не любая сила, приложенная к телу, будет вращать его. Силы и создают давление на подшипники, но не вращают его.

Сила может вывести тело из равновесия, а может – нет в зависимости от того, в каком месте радиус-вектора она приложена. Поэтому вводится понятие момента силы относительно оси. Моментом силыотносительно оси вращения называется векторное произведение радиуса-вектора на силу .

(3.1)

Вектор направлен по оси вращения и определяется правилом векторного произведения или правилом правого винта, или правилом буравчика.

Модуль момента силы

(3.2)

где α – угол между векторами и .

Из рис.3.1. видно, что _.

r₀ – кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы и называется плечом силы. Тогда момент силы можно записать

М = F r₀ . (3.3)

Из рис. 3.1.

,

где F – проекция вектора на направление, перпендикулярное вектору радиус-вектору . В этом случае момент силы равен

. (3.4)

Если на тело действует несколько сил, то результирующий момент силы равен векторной сумме моментов отдельных сил, но так как все моменты направлены вдоль оси, то их можно заменить алгебраической суммой. Момент будет считаться положительным, если он вращает тело по часовой стрелке и отрицательным, если против часовой стрелки. При равенстве нулю всех моментов сил ( ), тело будет находиться в равновесии.

Понятие момента силы можно продемонстрировать с помощью «капризной катушки». Катушку с нитками тянут за свободный конец нитки (рис. 3.2).

Рис. 3.2

В зависимости от направления силы натяжения нити катушка перекатывается в ту или иную сторону. Если тянуть под углом α, то момент силы относительно оси О (перпендикулярной к рисунку) вращает катушку против часовой стрелки и она откатывается назад. В случае натяжения под углом β вращающий момент направлен против часовой стрелки и катушка катится вперед.

Используя условие равновесия ( ), можно сконструировать простые механизмы, которые являются «преобразователями» силы, т.е. прикладывая меньшую силу можно поднимать и перемещать разного веса грузы. На этом принципе основаны рычаги, тачки, блоки разного рода, которые широко используются в строительстве. Для соблюдения условия равновесия в строительных подъемных кранах для компенсации момента силы, вызванного весом груза, всегда имеется система противовесов, создающая момент силы обратного знака.

3.2. Основное уравнение вращательного
движения. Момент инерции

Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси ОО (рис.3.3). Разобьём мысленно это тело на элементы массами Δm₁, Δm₂, …, Δm_n. При вращении эти элементы опишут окружности радиусами r₁, r_2, …, r_n . На каждый элемент действуют соответственно силы F₁, F_2, …, F_n . Вращение тела вокруг оси ОО происходит под действием полного момента сил М.

М = М₁ + М₂ + … +М_n (3.4)

где М₁= F₁ r_1, М₂= F₂ r_2, …, M_n = F_n r_n

Согласно II закону Ньютона, каждая сила F, действующая на элемент массой Dm, вызывает ускорение данного элемента a, т.е.

F_i= Dm_i a_i (3.5)

Подставив в (3.4) соответствующие значения, получим

(3.6)

Рис. 3.3

Зная связь между линейным угловым ускорением ε ( ) и что угловое ускорение для всех элементов одинаково, формула (3.6) будет иметь вид

М = (3.7)

где

=I (3.8)

I – момент инерции тела относительно неподвижной оси.

Тогда мы получим

М = I ε (3.9)

Или в векторном виде

(3.10)

Это уравнение является основным уравнением динамики вращательного движения. По форме оно сходно с уравнением II закона Ньютона. Из (3.10) момент инерции равен

(3.11)

Таким образом, моментом инерции данного тела называется отношение момента силы к вызываемому им угловому ускорении. Из (3.11) видно, что момент инерции является мерой инертности тела по отношению к вращательному движению. Момент инерции играет ту же роль, что и масса при поступательном движении. Единица измерения в СИ [I] = кг·м². Из формулы (3.7) следует, что момент инерции характеризует распределение масс частиц тела относительно оси вращения.

Итак, момент инерции элемента массы ∆m движущегося по окружности радиусом r равен

I = r²Dm (3.12)

Для тела содержащего n элементов

I= (3.13)

В случае непрерывного распределения масс сумму можно заменить интегралом

I= ∫ r²dm (3.14)

где интегрирование производится по всей массе тела.

Отсюда видно, что момент инерции тела зависит от массы и её распределения относительно оси вращения. Это можно продемонстрировать на опыте (рис.3.4).

Рис. 3.4

Два круглых цилиндра, один полый (например, металлический), другой сплошной (деревянный) с одинаковыми длинами, радиусами и массами начинают одновременно скатываться. Полый цилиндр, обладающий большим моментом инерции, отстанет от сплошного.

Вычислить момент инерции можно, если известна масса m и ее распределение относительно оси вращения. Наиболее простой случай – кольцо, когда все элементы массы расположены одинаково от оси вращения (рис. 3.5):

I = (3.15)

Рис. 3.5

Приведем выражения для моментов инерции разных симметричных тел массой m.

1.Момент инерции кольца, полого тонкостенного цилиндра относительно оси вращения совпадающей с осью симметрии.

, (3.16)

r – радиус кольца или цилиндра

2.Для сплошного цилиндра и диска момент инерции относительно оси симметрии

(3.17)

3. Момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр

(3.18)

r – радиус шара

4. Момент инерции тонкого стержня длинной l относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину

(3.19)

l – длина стержня.

Если ось вращения не проходит через центр масс, то момент инерции тела относительно этой оси определяется теоремой Штейнера.

(3.20)

Согласно этой теореме, момент инерции относительно произвольной оси О’O’ ( ) равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела ( ) плюс произведение массы тела на квадрат расстояния а между осями (рис. 3.6).

Рис. 3.6

Кинетическая энергия вращения

Рассмотрим вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси ОО с угловой скоростью ω (рис. 3.7). Разобьем твердое тело на n элементарных масс ∆m_i. Каждый элемент массы вращается по окружности радиуса r_i с линейной скоростью ( ). Кинетическая энергия складывается из кинетических энергий отдельных элементов.

(3.21)

Рис. 3.7

Вспомним по (3.13), что – момент инерции относительно оси ОО.

Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела

Е_к = (3.22)

Мы рассмотрели кинетическую энергию вращения вокруг неподвижной оси. Если тело участвует в двух движениях: в поступательном и вращательном движениях, то кинетическая энергия тела складывается из кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения.

Например, шар массой m катится; центр масс шара движется поступательно со скоростью u (рис. 3.8).

Рис. 3.8

Полная кинетическая энергия шара будет равна

(3.23)

3.4. Момент импульса. Закон сохранения
момента импульса

Физическая величина равная произведению момента инерции I на угловую скорость ω, называется моментом импульса (моментом количества движения) L относительно оси вращения.

(3.24)

– момент импульса величина векторная и по направлению совпадает с направлением угловой скорости .

Продифференцировав уравнение (3.24) по времени, получим

или (3.25)

где, М – суммарный момент внешних сил. В изолированной системе момент внешних сил отсутствует (М=0) и

, отсюда = const (3.26)

Полученный результат представлен собой закон сохранения момента импульса (момента количества движения): момент импульса (момент количества движения) замкнутой системы является величиной постоянной.

При поступательном движении системы внутренние силы не могут изменить ни импульса системы, ни ее массы, поэтому скорость центра масс остается неизменной.

При вращательном движении внутренние силы могут изменить распределение масс, а значит, момент инерции относительно оси вращения. Следствием этого должно быть изменение угловой скорости вращения тела

(3.27)

Пример

1. Фигурист на коньках изменением положения рук, регулирует свой момент инерции, а, следовательно, и скорость вращения своего тела.

2. Спортсмен, когда делает сальто, поджимает к туловищу руки и ноги, чтобы уменьшить момент инерции и увеличить угловую скорость.

3.5. Аналогия между поступательным
и вращательным движением

Если сопоставить соотношения между величинами, характеризующими поступательное движение, с такими же соотношениями для вращательного движения вокруг оси, увидим аналогию между ними. Достаточно запомнить пять соотношений между величинами поступательного и вращательного движениям (см. таблицу), чтобы перейти от описания одного вида движения к другому.

Поступательное движение	Вращательное движение
Путь S Скорость Ускорение Масса m Сила F	Угол поворота φ Угловая скорость Угловое ускорение Момент инерции I Момент силы M

Формальной заменой указанных величин в формулах поступательного движения можно получить формулы применительно к вращательному движению.

Например:

®

®

E_k= ® E_k=

®

и т.д.