Теорема Гюйгенса-Штейнера
Существует простая связь между моментами инерции тела относительно параллельных осей (теорема Гюйгенса-Штейнера), одна из которых проходит через центр масс.
Теорема. Момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме момента инерции тела относительно оси , проходящей через центр масс параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояний между осями:
, (2.13)
где М – масса тела, d – расстояние между двумя параллельными осями.
Пусть оси и параллельны, причем ось проходит через точку С – центр масс тела.
Возьмем начало координат в точке С, совместим ось zс осью , а ось у направим так, чтобы она пересекала оси и (рис. 2.5).
Рис.2.5 Выделим в теле произвольный элемент массой dm и опустим из него перпендикуляры на оси z и , обозначив их соответственно h и . Согласно определению осевых моментов инерции моментов (2.7), будем иметь
.
По теореме косинусов (рис.2.5) найдем , однако , где у – координата элемента, тогда
.
Подставим полученное выражение в формулу (2.13), определяющую момент инерции :
.
Первый интеграл равен по определению, второй – массе тела М, а третий – нулю: , поскольку начало координат совпадает с центром масс. Следовательно,
.
Эта формула широко используется в практических расчетах при определении моментов инерции тел относительно осей, не проходящих через центр масс. Применяя метод разбиения, с помощью этой формулы можно определять осевые моменты инерции тел сложной формы.
Установим формулы для центробежных моментов инерции, аналогичные (2.13). Рассмотрим две системы координат с взаимно параллельными осями и Сxyz, где С-центр масс тела (рис. 2.6). Обозначим через a,b,c координаты точки С в системе Тогда формулы перехода от одной системы координат к другой будут иметь вид
Рис. 2.6
По определению центробежных моментов инерции имеем
или, раскрывая скобки, группируя члены и вынося постоянные множители за знак интеграла,
Первый интеграл равен массе тела М, второй и третий равны нулю (они соответственно определяют положение центров тяжести ), а последний равен по определению. Таким образом, имеем (две другие формулы получены аналогично)
(2.14)
Дата добавления: 2019-12-09; просмотров: 537;