Действия с векторами, заданными своими координатами

Рассмотрим действия с векторами, которые заданы своими координатами:

1) При сложении векторов их одноименные координаты складываются, т.е. если , то

.

2) При умножении вектора на число l необходимо умножить на это число все его координаты:

3) Рассмотрим скалярное произведение векторов, заданных своими координатами.

Пусть , найдём их скалярное произведение

.

Согласно свойствам (3) и (4), имеем

Так как — три взаимно перпендикулярных вектора, то

и, следовательно,

(6)

т.е. скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат.

Простейшие задачи аналитической геометрии (длина вектора, расстояние между двумя точками в пространстве, угол между двумя векторами, направление вектора, деление отрезка в заданном отношении)

1) Длина вектора.Применяя формулу (2.3) при , имеем . С другой стороны . Отсюда получаем формулу для определения длины вектора

| | или (7)

2) Расстояние между двумя точками в пространстве. Рассмотрим следующую задачу. Даны две точки M и M . Найти расстояние между ними.

Z

^О Y

Заметим, что вектор есть разность векторов

.

Таким образом, . Следовательно, . Применяя формулу (1.4), получим

.

Пример 6. Определить расстояние между точками и .

Решение. Воспользовавшись формулой (2.2), получим

3)Угол между двумя векторами. Рассмотрим задачу об определении угла между двумя векторами. Согласно определению скалярного произведения векторов, имеем: ∙ = | || | cosj, где j — угол между векторами и . Из этой формулы находим

(8)

Выражая числитель и знаменатель в проекциях, получим формулу для вычисления угла между двумя данными векторами

. (9)

4) Направление вектора. Пусть a, b и g — углы, образованные вектором с осями координат OX, OY и OZ соответственно. Имеем . Отсюда

.

Аналогично получим

; .

Величины cosa, cosb, cosg называются направляющими косинусами вектора . Имеет место очевидное равенство: .

5) Деление отрезка в заданном отношении. Пусть даны точки A( и B( . Будем говорить, что точка M(x,y,z) делит отрезок в заданном отношении l, если .

B

M

A

O

Требуется найти координаты точки M, делящей отрезок в отношении l.

По условию имеем . Обозначим через – радиус-вектор точки M, – радиус вектор точки A, – радиус вектор точки B. Замечая, что , а , перепишем (2.7) в виде .

Отсюда имеем:

или в координатах: .

В частности координаты середины отрезка: .

Пример 7. Даны три вершины параллелограмма . Найти его четвертую вершину D.

Решение.