Теоремы Больцано — Вейерштрасса и Коши

Теорема Больцано—Вейерштрасса

Как уже известно, не каждая последовательность имеет предел. Более того, не каждая ограниченная последовательность имеет предел. Однако, справедлива следующая теорема.

Теорема 2.18 (теорема Вейерштрасса). Из ограниченной последовательности точек можно извлечь сходящуюся подпосле­довательность.

Доказательство.Если последовательность точек является числовой, то

эта последовательность содержит монотонную подпоследовательность (теорема 2.2). Из ограниченности последовательности следует ограниченность ее монотонной подпоследовательности, поэтому она сходится.

Докажем, что из ограниченной последовательности точек про­странства можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.

Первые координаты точек последовательности образуют ограничен­ную числовую последовательность. Эта последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность . Тогда у подпоследовательности первые координаты уже имеют предел. Затем из ограниченной последова­тельности вторых координат точек выделим сходящуюся подпоследовательность . Теперь у подпоследовательности схо­дятся вторые координаты, а ее первые координаты – подпоследовательность сходящейся последовательности . Следовательно, у подпоследовательности схо­дятся первые и вторые координаты.

Через конечное число шагов получим подпоследовательность последовательности , у которой сходятся последо­вательности всех координат, поэтому сама подпоследовательность сходится. ■

Критерий сходимости Коши

До сих пор мы не имеем критерия сходимости последовательности, в формулировке которого фигурировали бы только точки последовательности.

Начнем с доказательства теоремы.

Теорема 2.19.Если последовательность сходится, то для любого числа найдется такой номер , что неравенство справедливо, как только и .

Доказательство.Пусть точка является пределом последовательности , и пусть — произвольное положительное число. Тогда неравенство справедливо при всех . Возьмем любые два такие номера и , чтобы и . Тогда и . Теперь имеем: . ■

Теорема 2.19 содержит необходимое условие сходимости последовательности точек, в формулировке которого фигурируют только точки последовательности. Будет ли это условие достаточным условием сходимости последовательности точек? Ответ утвердительный, но сначала введем понятие фундаментальной последовательности точек, которое играет важную роль в современном анализе.

Последовательность точек пространства называется фундаментальной, если для любого числа найдется такой номер , что неравенство справедливо, как только и .

Теперь теорему 2.19 можно сформулировать так: если последовательность точек пространства сходится, то она является фундаментальной.

Лемма. Каждая фундаментальная последовательность точек пространства ограничена.

Доказательство.Если последовательность точек является фундаментальной, то для числа найдется такой номер , что неравенство будет справедливо, как только . Следовательно, все точки последовательности принадлежат окрестности , кроме точек . Окрестность точки , радиус которой больше числа

,…, , ,

содержит все точки последовательности . Следовательно, множество точек последовательности содержится в ограниченном множестве, поэтому само ограничено. ■

Теорема 2.20. Каждая фундаментальная последовательность точек пространства сходится.

Доказательство. Из леммы следует, что последовательность точек ограничена. Из теоремы 2.18 вытекает, что последовательности точек содержит подпосле­довательность ,которая сходится к точке . Докажем, что эта точка является пределом последовательности .

Возьмем . Так как последовательность точек является фундаментальной, то по заданному числу найдется такой номер , что неравенство справедливо, как только и .

С другой стороны, точка является пределом последовательности .

Следовательно, по заданному числу неравенство справедливо при всех .

Обозначим через , и фиксируем такой член подпоследовательности , номер которого . Теперь при всех имеем:

; , . Отсюда вытекает следующая цепочка неравенств:

,

т.е. точка является пределом последовательности . ■

Из теорем 2.19 и 2.20 вытекает критерий сходимости последовательности.

Теорема 2.21(критерий сходимости Коши). Последовательность точек пространства сходится тогда и только тогда, когда является фундаментальной последовательностью.