Взаимосвязь массы и энергии

Одним из фундаментальных положений теории относительности является установленное Эйнштейном соотношение между массой и энергией частицы:

=mc², (2.3.24)

где Е – полная энергия частицы. Если частица покоится (v = 0), то в соответствии с формулой (2.3.24) она обладает энергией

Е₀ = m₀c² , (2.3.25)

которая называется энергией покоя. Энергия покоя представляет собой внутреннюю энергию частицы, не связанную с движением частицы как целого. В энергию покоя и в полную энергию не входит потенциальная энергия во внешнем силовом поле. При малых скоростях движения . Поэтому, разложив выражение (2.3.24) в ряд и пренебрегая членами второго порядка малости, получим

E_k. (2.3.26)

Таким образом, полная энергия частицы представляет собой сумму энергии покоя и кинетической энергии частицы. Поэтому кинетическая энергия частицы, движущейся с произвольной скоростью, определяется формулой

E_k = E – E₀ = . (2.3.27)

При малых скоростях это выражение с учетом (2.3.26) переходит в классическое выражение для кинетической энергии E_k = .

Соотношение между массой и энергией связывает между собой две важнейшие характеристики материи: инертность и энергию. Всякое изменение энергии частицы сопровождается изменением ее массы. Закон взаимосвязи массы и энергии подтверждает неразрывную связь материи и движения.

Релятивистский подход к вопросу об энергии тела отличается от классического. В соответствии с СТО даже неподвижное тело массы m₀, не находящееся в каких-либо внешних силовых полях, обладает энергией покоя E= m₀c². Эту энергию можно трактовать как «внутреннюю» энергию тела.

Исключив из формул (2.3.21) и (2.3.24) скорость v, получим выражение, связывающее между собой энергию и импульс частицы:

Е = . (2.3.28)

Это выражение можно преобразовать к следующему виду:

E² – p²c² = m₀²c⁴. (2.3.29)

Так как масса покоя и скорость света в вакууме имеют одни и те же значения во всех системах отсчета, то выражение

E² – p²c² = inv, (2.3.30)

т.е. не изменяет своей величины при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, является инвариантным относительно преобразований Лоренца. В релятивистской механике энергия и импульс являются компонентами единого четырехмерного вектора энергии-импульса.

Энергия связи

Рассмотрим систему взаимодействующих между собой частиц, находящихся в покое относительно друг друга. В соответствии с законом сохранения энергии

M₀c² = + E_вз, (2.3.31)

где М₀ – масса покоя системы частиц как целого; m_0i – массы покоя частиц, входящих в систему; Е_вз – энергия взаимодействия. Если взаимодействие между частицами носит характер притяжения, то Е_вз < 0. Отсюда следует, что М_{0 <} , т.е. масса в теории относительности не является аддитивной величиной. Величина называется дефектом массы.

Известно, что ядро атома состоит из протонов и нейтронов, между которыми действуют ядерные силы, имеющие характер притяжения. Поэтому масса ядра меньше суммы масс протонов и нейтронов, входящих в ядро. Разница между суммой масс протонов и нейтронов и массой ядра называется дефектом массы ядра:

∆М_яд = Zm_0p + Nm_0n – M_яд, (2.3.32)

где ∆М_яд – дефект массы ядра, Z – число протонов в ядре, m_0p – масса покоя протона, N – число нейтронов в ядре, m_0n – масса покоя нейтрона, М_яд – масса покоя ядра. Величину

Е_св = ∆М_ядс² (2.3.33)

называют энергией связи ядра. Энергия связи ядра равна той работе, которую необходимо совершить, чтобы разобрать ядро на составные части. Энергия связи обеспечивает устойчивость атомного ядра.

Если ядро тяжелого элемента, находящегося в конце таблицы Менделеева, расщепить на две примерно равные части, то получаются два ядра элементов, расположенных примерно в середине таблицы Менделеева. При этом сумма масс покоя всех продуктов деления ядра оказывается меньше массы покоя исходного ядра. Поэтому полная энергия покоя ядер, образовавшихся в результате деления, меньше энергии покоя исходного ядра. Разница в энергиях выделяется в виде кинетической энергии продуктов деления и образующегося при этом излучения. Эту энергию называют атомной или ядерной и используют в атомных (ядерных) реакторах и атомных бомбах. Например, в реакции

₉₂U²³⁵ + n → ₅₅ Cs¹⁴⁰ + ₃₇Rb⁹⁴ + 2n (2.3.34)

разница между суммой масс покоя урана и нейтрона и суммой масс покоя продуктов деления составляет 4‧10^{-28 кг. В результате реакции выделяется 36}‧10^-12 Дж энергии в виде кинетической энергии осколков деления и энергии электромагнитного излучения.