Математика – универсальный язык

Естествознания

Представления об окружающем нас мире изменялись по мере развития физических теорий. Однако с античных времен природа понималась как структурно-целостная система. Идея целостности окружающего нас мира приводила к поиску закономерностей, по которым этот мир функционирует, к поиску гармонии природы, прежде всего на математическом уровне.

Практически полезные знания о численных отношениях и свойствах различных геометрических фигур накапливались столетиями. Но только древние греки первыми превратили их в систему научных знаний, придали высокую ценность обоснованным и доказательным знаниям. Фалес Милетский первым поставил вопрос о необходимости доказательства геометрических утверждений. Представители философской школы пифагорейцев (VI – IV вв. до н.э.) рассматривали Космос как упорядоченное, гармоничное, единое целое, которым правят числа. Тезис Пифагора «Мир есть число» переводил математику из области практически-прикладной в сферу теоретическую, в систему понятий, логически связанных между собой процедурой доказательства. Пифагорейцы воспринимали число как божественное начало, сущность мира. Числа, по мнению пифагорейцев, уравновешивают добро и зло в мире, обеспечивают в нем возрождение и предопределяют уничтожение, способствуют успеху, влияют на судьбу человека. Мир целостен и гармоничен. Но «мир есть число», значит, занятия математикой позволят установить связи между числами и тем самым постичь гармонию окружающего мира. Мистика чисел, пронизывающая все учение пифагорейцев, проникла в религиозные воззрения последующих столетий, проявилась в магии и астрологии.

Математическая программа, предложенная Пифагором и позднее развитая Платоном, по существу является первой научной программой античности. В ее основе лежало представление, что мир (Космос) – это упорядоченное выражение целого ряда первоначальных сущностей – чисел, которые являются первоосновой мира. В математической программе в основе мира лежат количественные отношения действительности. Этот подход позволил увидеть за миром разнообразных качественно различных предметов их количественное единство. Пифагорейцы заложили основы представления о мире и его познании, в соответствии с которым математические знания являются важнейшим условием познания природы: математика есть средство познания устройства мира [38]. Картина мира, представленная пифагорейцами, поражала своей гармонией – протяженный мир тел, подчиненный законам геометрии, движение небесных тел по математическим законам. Cогласно представлениям пифагорейцев, расстояния между светилами соответствовали музыкальным интервалам дорийского лада. При вращении светил, находящихся на концентрических сферах, светила издают свой музыкальный тон, а вся система сфер образует гармонию – «музыку сфер».

Дальнейшее развитие математическая программа пифагорейцев получила в трудах Платона, который нарисовал грандиозную картину «истинного» мира – мира идей, представляющего собой иерархически упорядоченную структуру, созданную Творцом на основе математических закономерностей, которые Платон пытался вычленить, математизируя физику. Заимствовав у Левкиппа и Демокрита представления об атомах как мельчайших частицах материи, Платон мыслил их как геометрические формы, как правильные многогранники (частицы земли – кубы, огня – тетраэдры, воды – икосаэдры, воздуха - октаэдры). Правильные многогранники служили у него символами определенных особенностей физических характеристик материи.

В XVII – XVIII вв. естествознание окончательно встало на путь количественного исследования. Классическое естествознание начинается с умения строить математические модели изучаемых явлений, сравнивать их с опытным материалом, проводить рассуждения посредством мысленного эксперимента. Еще Г.Галилей в книге «Пробирных дел мастер» писал:

«Философия природы написана в величайшей книге, которая всегда открыта перед нашими глазами, – я разумею Вселенную, но понять ее сможет лишь тот, кто сначала выучит язык и постигнет письмена, которыми она начертана. А написана книга на языке математики, и письмена ее – треугольники, окружности и другие геометрические фигуры, без коих нельзя понять по-человечески ее слова: без них – тщетное кружение в темном лабиринте».

Широкое и успешное применение математики для описания и анализа естественно-научных процессов и явлений стало возможным после разработки И.Ньютоном и Г.Лейбницем аппарата дифференциального и интегрального исчисления. В.Гейзенберг писал:

«Ньютон связал основные понятия посредством ряда аксиом, поддававшихся непосредственному переводу на язык математики, и таким образом впервые создал возможность отобразить в математическом формализме бесконечное множество явлений. Отдельные сложные процессы могли быть таким путем поняты и «объяснены» как следствие основных законов. Даже если сам процесс еще не наблюдался, его исход можно было «предсказать», зная начальные условия и физические законы».

Для современного естествознания применение математических методов так же характерно, как и применение экспериментальных методов. Логическая стройность математики, ее дедуктивный характер, общеобязательность выводов делали ее прекрасной опорой естествознания. Во многих случаях математика играет роль универсального языка естествознания, позволяющего лаконично и точно описывать различные явления, в том числе и в динамике – в зависимости от времени. Н.Бор писал, что математика «похожа на разновидность общего языка, приспособленного для выражения соотношений, которые трудно или невозможно передать словами». Единство природы обнаруживается в аналогичности дифференциальных уравнений, относящихся к различным областям знания.

Математика служит источником моделей, алгоритмических схем для связей, отношений и процессов, составляющих предмет естествознания. Любая математическая модель упрощает реальный объект, но это способствует выявлению сущностных особенностей объекта. Формулируя физическую задачу на языке математики, исследователь должен выделить главные свойства и особенности рассматриваемого объекта или процесса и пренебречь несущественными свойствами и деталями, чтобы задача была разрешимой. Математическая модель физического объекта, как правило, не является его адекватным отражением во всех деталях. Умение оценить и отделить несущественные для конечной цели свойства физического явления, сформулировать математическую задачу и разработать общий, пригодный для круга задач метод решения – определяют талант исследователя. Опираясь на данные современной физики и астрофизики, используя математический аппарат, ученые создают различные модели Вселенной и ее эволюции. Сейчас ни одна теория не считается полностью завершенной, если не удается создать математическую модель изучаемого явления.

Об особенностях подхода к изучаемым явлениям математика и физика образно писал М.Борн:

«…интересно проследить различия в физическом и математическом мышлении. Физик исходит из того, чтобы исследовать, как обстоят дела в природе; эксперимент и теория являются лишь вспомогательными средствами для достижения цели. В сознании бесконечной сложности сущего, с которой он встречается в каждом эксперименте, физик сопротивляется тому, чтобы считать какую-либо теорию окончательной. Поэтому он ненавидит слово «аксиома», которому в обычном словоупотреблении приписывается окончательная истина; здоровое чувство подсказывает ему, что догматизм является злейшим врагом естествознания. Математик же имеет дело не с реальными фактами, а с логическими взаимосвязями, и на языке Гильберта аксиоматическая трактовка некоторого предмета вовсе не означает выдвижение определенных аксиом в качестве вечных истин; это просто методическое требование: в начале своих рассуждений назови предпосылки, придерживайся их и исследуй, не являются ли эти предпосылки частично лишними или даже взаимно противоречивыми. Эта логическая последовательность несомненно является идеалом любой области познания, но чем дальше мы отходим от чистой математики, тем менее чувствуется (или чувствителен) этот идеал, и даже в точной физике довольно часто в середине изложения находим предложения типа: «если теперь допустить, что…».

Математика не только дает естествознанию более точный язык для выражения уже приобретенных знаний, но и позволяет делать выводы о существовании еще не открытых объектов и процессов. Примером может служить предсказание Д.Максвеллом существования электромагнитных волн.Г.Герц, экспериментально подтвердивший существование электромагнитных волн, был восхищен могуществом математики:

«Трудно отделаться от ощущения, что эти математические формулы существуют независимо от нас и обладают своим собственным разумом, что они умнее нас, умнее тех, кто открыл их, и что мы извлекаем из них больше, чем было в них первоначально заложено».

Об эффективности математики в естественных науках лауреат Нобелевской премии по физике Ю.П.Вигнер писал:

«Математический язык удивительно хорошо приспособлен для формулировки физических законов, Это чудесный дар, который мы не понимаем и которого не заслуживаем. Нам остается лишь благодарить за него судьбу и надеяться, что и в будущих своих исследованиях мы сможем по-прежнему пользоваться им. Мы думаем, что сфера его применимости (хорошо это или плохо) будет непрерывно возрастать, принося нам не только радость, но и новые головоломные проблемы».

Целый ряд открытий в физике элементарных частиц был следствием предсказаний, сделанных физиками-теоретиками на основе применения теории групп и методов симметрии. Единство количественных и качественных характеристик, присущих объектам материального мира, все более адекватно отражается в математическом аппарате современной физики и служит основой ее выдающихся успехов в познании действительности. Высоко оценивал роль математики в познании А.Эйнштейн:

«Весь предшествующий опыт убеждает нас в том, что природа представляет собой реализацию простейших математически мыслимых элементов. Я убежден, что посредством чисто математических конструкций мы можем найти те понятия и закономерные связи между ними, которые дадут нам ключ к пониманию явлений природы. Опыт может подсказать соответствующие математические понятия, но они ни в коем случае не могут быть выведены из него. Конечно, опыт остается единственным критерием пригодности математических конструкций физики. Но настоящее творческое начало присуще именно математике».

Прочие методы

Частнонаучные методы – совокупность способов, принципов познания, исследовательских приемов и процедур, применяемых в той или иной науке, соответствующей данной форме движения материи. Это методы механики, физики, химии, биологии и социально-гуманитарных наук.

Дисциплинарные методы – система приемов, применяемых в той или иной научной дисциплине, входящей в какую-нибудь отрасль науки или возникшей на стыке наук. Каждая фундаментальная наука представляет собой комплекс дисциплин, которые имеют свой специфический предмет и свои своеобразные методы исследования, например в физике – методы физики элементарных частиц, оптические методы и др.

Методы междисциплинарного исследования - совокупность ряда синтетических, интегративных способов, возникших как результат сочетания элементов различных уровней методологии, нацеленных главным образом на стыки научных дисциплин. Широкое применение эти методы нашли в реализации комплексных научных программ.

ГИПОТЕЗА И ТЕОРИЯ

Традиционная модель строения научного знания выглядит примерно следующим образом. Познание начинается с установления путем наблюдения или экспериментов различных фактов. Если среди них обнаруживается некая регулярность, повторяемость, то можно в принципе утверждать, что найден эмпирический закон, первое эмпирическое обобщение. Как правило, рано или поздно обнаруживаются такие факты, которые не встраиваются в эту регулярность. Далее с помощью мышления ученого известная реальность перестраивается так, чтобы выпадающие из общего ряда факты вписались в новую единую схему и перестали противоречить данной эмпирической закономерности.

Новую схему необходимо сотворить умозрительно, представив ее первоначально в виде гипотезы. Если гипотеза удачна и снимает найденное между фактами противоречие, а еще лучше – позволяет предсказывать получение новых, нетривиальных фактов, подтверждающихся экспериментом, значит родилась новая теория, найден новый теоретический закон.

Таким образом, традиционная модель строения научного знания предполагает движение по цепочке: установление эмпирических фактов – первичное эмпирическое обобщение – обнаружение отклоняющихся от правила фактов – изобретение теоретической гипотезы с новой схемой объяснения – логический вывод (дедукция) из гипотезы всех наблюдаемых фактов, что является ее проверкой на истинность, - предсказание новых фактов, вытекающих из новой теории, - экспериментальное обнаружение этих фактов. Подтверждение гипотезы экспериментом превращает ее в теорию. Подобная модель научного знания называется гипотетико-дедуктивной. Считается, что большая часть современного естественно-научного знания получена таким способом.

Гипотеза – научное предположение, выдвигаемое для объяснения какого-либо факта или явления и требующее проверки и доказательства, чтобы стать научной теорией или законом. Гипотеза – предположительное знание, истинность которого еще не доказана, но которое выдвигается не произвольно, а при соблюдении ряда требований:

- основные положения гипотезы не должны противоречить известным и проверенным фактам;

- новая гипотеза должна соответствовать надежно установленным теориям (закон сохранения и превращения энергии, первое начало термодинамики и др.);

- гипотеза должна быть доступна экспериментальной проверке.

Б.Рассел считал, что « часто наиболее трудным этапом в поиске истины является формулировка правдоподобной гипотезы; когда гипотеза сформулирована, ее можно проверить, но для всего этого нужен человек, способный ее выдумать».