Математика – универсальный язык

Естествознания

Представления об окружающем нас мире изменялись по мере развития физических теорий. Однако с античных времен природа понималась как структурно-целостная система. Идея целостности окружающего нас мира приводила к поиску закономерностей, по которым этот мир функционирует, к поиску гармонии природы, прежде всего на математическом уровне.

Практически полезные знания о численных отношениях и свойствах различных геометрических фигур накапливались столетиями. Но только древние греки первыми превратили их в систему научных знаний, придали высокую ценность обоснованным и доказательным знаниям. Фалес Милетский первым поставил вопрос о необходимости доказательства геометрических утверждений. Представители философской школы пифагорейцев (VI – IV вв. до н.э.) рассматривали Космос как упорядоченное, гармоничное, единое целое, которым правят числа. Тезис Пифагора «Мир есть число» переводил математику из области практически-прикладной в сферу теоретическую, в систему понятий, логически связанных между собой процедурой доказательства. Пифагорейцы воспринимали число как божественное начало, сущность мира. Числа, по мнению пифагорейцев, уравновешивают добро и зло в мире, обеспечивают в нем возрождение и предопределяют уничтожение, способствуют успеху, влияют на судьбу человека. Мир целостен и гармоничен. Но «мир есть число», значит, занятия математикой позволят установить связи между числами и тем самым постичь гармонию окружающего мира. Мистика чисел, пронизывающая все учение пифагорейцев, проникла в религиозные воззрения последующих столетий, проявилась в магии и астрологии.

Математическая программа, предложенная Пифагором и позднее развитая Платоном, по существу является первой научной программой античности. В ее основе лежало представление, что мир (Космос) – это упорядоченное выражение целого ряда первоначальных сущностей – чисел, которые являются первоосновой мира. В математической программе в основе мира лежат количественные отношения действительности. Этот подход позволил увидеть за миром разнообразных качественно различных предметов их количественное единство. Пифагорейцы заложили основы представления о мире и его познании, в соответствии с которым математические знания являются важнейшим условием познания природы: математика есть средство познания устройства мира [38]. Картина мира, представленная пифагорейцами, поражала своей гармонией – протяженный мир тел, подчиненный законам геометрии, движение небесных тел по математическим законам. Cогласно представлениям пифагорейцев, расстояния между светилами соответствовали музыкальным интервалам дорийского лада. При вращении светил, находящихся на концентрических сферах, светила издают свой музыкальный тон, а вся система сфер образует гармонию – «музыку сфер».

Дальнейшее развитие математическая программа пифагорейцев получила в трудах Платона, который нарисовал грандиозную картину «истинного» мира – мира идей, представляющего собой иерархически упорядоченную структуру, созданную Творцом на основе математических закономерностей, которые Платон пытался вычленить, математизируя физику. Заимствовав у Левкиппа и Демокрита представления об атомах как мельчайших частицах материи, Платон мыслил их как геометрические формы, как правильные многогранники (частицы земли – кубы, огня – тетраэдры, воды – икосаэдры, воздуха - октаэдры). Правильные многогранники служили у него символами определенных особенностей физических характеристик материи.

В XVII – XVIII вв. естествознание окончательно встало на путь количественного исследования. Классическое естествознание начинается с умения строить математические модели изучаемых явлений, сравнивать их с опытным материалом, проводить рассуждения посредством мысленного эксперимента. Еще Г.Галилей в книге «Пробирных дел мастер» писал:

«Философия природы написана в величайшей книге, которая всегда открыта перед нашими глазами, – я разумею Вселенную, но понять ее сможет лишь тот, кто сначала выучит язык и постигнет письмена, которыми она начертана. А написана книга на языке математики, и письмена ее – треугольники, окружности и другие геометрические фигуры, без коих нельзя понять по-человечески ее слова: без них – тщетное кружение в темном лабиринте».

Широкое и успешное применение математики для описания и анализа естественно-научных процессов и явлений стало возможным после разработки И.Ньютоном и Г.Лейбницем аппарата дифференциального и интегрального исчисления. В.Гейзенберг писал:

«Ньютон связал основные понятия посредством ряда аксиом, поддававшихся непосредственному переводу на язык математики, и таким образом впервые создал возможность отобразить в математическом формализме бесконечное множество явлений. Отдельные сложные процессы могли быть таким путем поняты и «объяснены» как следствие основных законов. Даже если сам процесс еще не наблюдался, его исход можно было «предсказать», зная начальные условия и физические законы».

Для современного естествознания применение математических методов так же характерно, как и применение экспериментальных методов. Логическая стройность математики, ее дедуктивный характер, общеобязательность выводов делали ее прекрасной опорой естествознания. Во многих случаях математика играет роль универсального языка естествознания, позволяющего лаконично и точно описывать различные явления, в том числе и в динамике – в зависимости от времени. Н.Бор писал, что математика «похожа на разновидность общего языка, приспособленного для выражения соотношений, которые трудно или невозможно передать словами». Единство природы обнаруживается в аналогичности дифференциальных уравнений, относящихся к различным областям знания.

Математика служит источником моделей, алгоритмических схем для связей, отношений и процессов, составляющих предмет естествознания. Любая математическая модель упрощает реальный объект, но это способствует выявлению сущностных особенностей объекта. Формулируя физическую задачу на языке математики, исследователь должен выделить главные свойства и особенности рассматриваемого объекта или процесса и пренебречь несущественными свойствами и деталями, чтобы задача была разрешимой. Математическая модель физического объекта, как правило, не является его адекватным отражением во всех деталях. Умение оценить и отделить несущественные для конечной цели свойства физического явления, сформулировать математическую задачу и разработать общий, пригодный для круга задач метод решения – определяют талант исследователя. Опираясь на данные современной физики и астрофизики, используя математический аппарат, ученые создают различные модели Вселенной и ее эволюции. Сейчас ни одна теория не считается полностью завершенной, если не удается создать математическую модель изучаемого явления.

Об особенностях подхода к изучаемым явлениям математика и физика образно писал М.Борн:

«…интересно проследить различия в физическом и математическом мышлении. Физик исходит из того, чтобы исследовать, как обстоят дела в природе; эксперимент и теория являются лишь вспомогательными средствами для достижения цели. В сознании бесконечной сложности сущего, с которой он встречается в каждом эксперименте, физик сопротивляется тому, чтобы считать какую-либо теорию окончательной. Поэтому он ненавидит слово «аксиома», которому в обычном словоупотреблении приписывается окончательная истина; здоровое чувство подсказывает ему, что догматизм является злейшим врагом естествознания. Математик же имеет дело не с реальными фактами, а с логическими взаимосвязями, и на языке Гильберта аксиоматическая трактовка некоторого предмета вовсе не означает выдвижение определенных аксиом в качестве вечных истин; это просто методическое требование: в начале своих рассуждений назови предпосылки, придерживайся их и исследуй, не являются ли эти предпосылки частично лишними или даже взаимно противоречивыми. Эта логическая последовательность несомненно является идеалом любой области познания, но чем дальше мы отходим от чистой математики, тем менее чувствуется (или чувствителен) этот идеал, и даже в точной физике довольно часто в середине изложения находим предложения типа: «если теперь допустить, что…».

Математика не только дает естествознанию более точный язык для выражения уже приобретенных знаний, но и позволяет делать выводы о существовании еще не открытых объектов и процессов. Примером может служить предсказание Д.Максвеллом существования электромагнитных волн.Г.Герц, экспериментально подтвердивший существование электромагнитных волн, был восхищен могуществом математики:

«Трудно отделаться от ощущения, что эти математические формулы существуют независимо от нас и обладают своим собственным разумом, что они умнее нас, умнее тех, кто открыл их, и что мы извлекаем из них больше, чем было в них первоначально заложено».

Об эффективности математики в естественных науках лауреат Нобелевской премии по физике Ю.П.Вигнер писал:

«Математический язык удивительно хорошо приспособлен для формулировки физических законов, Это чудесный дар, который мы не понимаем и которого не заслуживаем. Нам остается лишь благодарить за него судьбу и надеяться, что и в будущих своих исследованиях мы сможем по-прежнему пользоваться им. Мы думаем, что сфера его применимости (хорошо это или плохо) будет непрерывно возрастать, принося нам не только радость, но и новые головоломные проблемы».

Целый ряд открытий в физике элементарных частиц был следствием предсказаний, сделанных физиками-теоретиками на основе применения теории групп и методов симметрии. Единство количественных и качественных характеристик, присущих объектам материального мира, все более адекватно отражается в математическом аппарате современной физики и служит основой ее выдающихся успехов в познании действительности. Высоко оценивал роль математики в познании А.Эйнштейн:

«Весь предшествующий опыт убеждает нас в том, что природа представляет собой реализацию простейших математически мыслимых элементов. Я убежден, что посредством чисто математических конструкций мы можем найти те понятия и закономерные связи между ними, которые дадут нам ключ к пониманию явлений природы. Опыт может подсказать соответствующие математические понятия, но они ни в коем случае не могут быть выведены из него. Конечно, опыт остается единственным критерием пригодности математических конструкций физики. Но настоящее творческое начало присуще именно математике».

Прочие методы

Частнонаучные методы – совокупность способов, принципов познания, исследовательских приемов и процедур, применяемых в той или иной науке, соответствующей данной форме движения материи. Это методы механики, физики, химии, биологии и социально-гуманитарных наук.

Дисциплинарные методы – система приемов, применяемых в той или иной научной дисциплине, входящей в какую-нибудь отрасль науки или возникшей на стыке наук. Каждая фундаментальная наука представляет собой комплекс дисциплин, которые имеют свой специфический предмет и свои своеобразные методы исследования, например в физике – методы физики элементарных частиц, оптические методы и др.

Методы междисциплинарного исследования - совокупность ряда синтетических, интегративных способов, возникших как результат сочетания элементов различных уровней методологии, нацеленных главным образом на стыки научных дисциплин. Широкое применение эти методы нашли в реализации комплексных научных программ.

ГИПОТЕЗА И ТЕОРИЯ

Традиционная модель строения научного знания выглядит примерно следующим образом. Познание начинается с установления путем наблюдения или экспериментов различных фактов. Если среди них обнаруживается некая регулярность, повторяемость, то можно в принципе утверждать, что найден эмпирический закон, первое эмпирическое обобщение. Как правило, рано или поздно обнаруживаются такие факты, которые не встраиваются в эту регулярность. Далее с помощью мышления ученого известная реальность перестраивается так, чтобы выпадающие из общего ряда факты вписались в новую единую схему и перестали противоречить данной эмпирической закономерности.

Новую схему необходимо сотворить умозрительно, представив ее первоначально в виде гипотезы. Если гипотеза удачна и снимает найденное между фактами противоречие, а еще лучше – позволяет предсказывать получение новых, нетривиальных фактов, подтверждающихся экспериментом, значит родилась новая теория, найден новый теоретический закон.

Таким образом, традиционная модель строения научного знания предполагает движение по цепочке: установление эмпирических фактов – первичное эмпирическое обобщение – обнаружение отклоняющихся от правила фактов – изобретение теоретической гипотезы с новой схемой объяснения – логический вывод (дедукция) из гипотезы всех наблюдаемых фактов, что является ее проверкой на истинность, - предсказание новых фактов, вытекающих из новой теории, - экспериментальное обнаружение этих фактов. Подтверждение гипотезы экспериментом превращает ее в теорию. Подобная модель научного знания называется гипотетико-дедуктивной. Считается, что большая часть современного естественно-научного знания получена таким способом.

Гипотеза – научное предположение, выдвигаемое для объяснения какого-либо факта или явления и требующее проверки и доказательства, чтобы стать научной теорией или законом. Гипотеза – предположительное знание, истинность которого еще не доказана, но которое выдвигается не произвольно, а при соблюдении ряда требований:

- основные положения гипотезы не должны противоречить известным и проверенным фактам;

- новая гипотеза должна соответствовать надежно установленным теориям (закон сохранения и превращения энергии, первое начало термодинамики и др.);

- гипотеза должна быть доступна экспериментальной проверке.

Б.Рассел считал, что « часто наиболее трудным этапом в поиске истины является формулировка правдоподобной гипотезы; когда гипотеза сформулирована, ее можно проверить, но для всего этого нужен человек, способный ее выдумать».

Теория – система истинного, уже доказанного, подтвержденного знания о сущности явлений, высшая форма научного знания, всесторонне раскрывающая структуру, функционирование и развитие изучаемого объекта, взаимоотношение всех его элементов, сторон и связей. Теория, как правило, описывает и объясняет обширную область явлений. Так, молекулярно-кинетическая теория газов описывает не только группу явлений, связанных с поведением идеального газа, но и другие явления из данной области (теплопроводность, внутреннее трение, диффузию и др.). Все эмпирические законы для данной области явлений могут быть выведены из соответствующей теории.

Главные элементы теории – принципы (исходные высказывания) и законы (следствия). Принципы – наиболее важные и общие фундаментальные положения теории. Принципы играют роль исходных, основных и первичных посылок, закладывающихся в сам фундамент теории. А.Эйнштейн писал:

«Главнейшая цель всякой теории состоит в том, чтобы добиться предельной простоты и предельной немногочисленности своих фундаментальных постулатов, не отказываясь от адекватного представления каждого экспериментального факта».

Так, в основе молекулярно-кинетической теории лежат следующие основные положения: все вещества состоят из мельчайших частиц – атомов, атомы находятся в состоянии непрерывного хаотического движения, интенсивность этого движения зависит от температуры.

Законы науки отражают в форме теоретических утверждений объективные связи изучаемых явлений. Категории науки – наиболее общие и важные понятия теории, характеризующие существенные свойства объекта теории, ее предметы (энергия, сила и др.). Принципы и законы выражаются через соотношение двух и более категорий.

Физическая теория, например, – это прежде всего теоретические законы, выраженные в форме математических уравнений и отображающие сущность определенной области физических явлений (уравнения Максвелла, уравнения Лагранжа и др.). Теоретические законы отличаются от эмпирических большей степенью общности, часто включают наряду с эмпирическими ряд теоретических понятий, более удаленных от непосредственного опыта, например, понятие электромагнитного поля, сформулированное Фарадеем и Максвеллом, непосредственно из опыта не следует.

Наиболее общими элементами физического знания служат основные идеи, принципы и гипотезы физики, относящиеся ко всему объекту физического познания. Принципы сохранения и превращения энергии, начала термодинамики, соотношение неопределенностей Гейзенберга и др. имеют силу для любых физических явлений. А.Эйнштейн писал:

«Высшая задача физики состоит в открытии наиболее общих элементарных законов, из которых можно было бы логически вывести картину мира».

Теории оперируют не реальными объектами, а их идеализациями, идеальными моделями, которые абстрагируются от каких-то реальных, второстепенных сторон объектов и потому дают неполную картину действительного (идеальный газ, идеальная жидкость и др.). Идеальные объекты (модели), в отличие от реальных, характеризуются не бесконечным, а вполне определенным числом свойств. Так, материальные точки, с которыми имеет дело механика, обладают только массой и возможностью находиться в пространстве и времени. В теории задаются не только идеальные объекты, но и взаимоотношения между ними, которые описываются законами. Из первичных идеальных объектов в теории могут конструироваться производные объекты (например, система материальных точек).

Из исходных идеальных объектов строится некоторая теоретическая модель данного конкретного явления и предполагается, что эта модель в существенных своих сторонах, в определенных отношениях соответствует действительности. В итоге теория, которая описывает свойства идеальных объектов, взаимоотношения между ними, а также свойства конструкций, образованных из первичных идеальных объектов, способна описать все многообразие данных, с которыми исследователь сталкивается на эмпирическом уровне.

Научная теория – это система определенных абстракций, при помощи которых раскрывается субординация существенных и несущественных в определенном отношении свойств действительности. Можно сказать, что научная теория дает определенный срез действительности. Но ни одна система абстракций не может охватить всего богатства действительности. Следует всегда иметь в виду ограниченность моделей и соответственно опирающихся на них теорий.

Историк и философ науки П.Дюгем в своей книге «Физическая теория. Ее цель и строение» описал физическую теорию как «абстрактную систему, предназначенную для суммирования и логической классификации определенной группы экспериментальных законов и не претендующую на их объяснение». По его мнению, теории носят приближенный, временный характер и «лишены ссылок на объективную реальность».

Теоретический уровень знания обычно расчленяется на две существенные части, представляемые фундаментальными теориями и теориями, которые описывают конкретную область реальности, базируясь на фундаментальных теориях. Так, на основе принципов механики, описывающей материальные точки и взаимоотношения между ними, строятся различные конкретные теории, описывающие те или иные области реальности. Для описания небесных тел строится небесная механика. При этом Солнце представляет собой центральное массивное тело, вокруг которого по законам механики и по закону всемирного тяготения движутся планеты. Эта модель Солнечной системы строится из материальных точек и рассчитывается, исходя из принципов механики. Таким же образом – на базе механики – строятся и другие конкретные теории, например теория твердого тела.

Теория позволяет не только описать и объяснить уже известные явления, но и предсказать новые. Из уравнений Максвелла следовало, что в природе должны существовать и распространяться в пространстве электромагнитные волны, которые позже были экспериментально открыты Г. Герцем.

Выдающийся физик Л.И.Мандельштам писал, что всякая физическая теория состоит из двух дополняющих друг друга частей. Одна часть – это уравнения теории: уравнения Максвелла, уравнения Ньютона и т.д. Это просто математический аппарат. Но необходимую часть теории составляет его связь с физическими объектами. Без установления связей математической конструкции с физическим миром вещей теория «иллюзорна, пуста». С другой стороны, без математического аппарата вообще нет теории: «Только совокупность двух указанных сторон дает физическую теорию». Г.Вейль был убежден, что математика отражает порядок, существующий в природе:

«В природе существует внутренне присущая ей скрытая гармония, отражающаяся в наших умах в виде простых математических законов. Именно этим объясняется, почему природные явления удается предсказывать с помощью комбинации наблюдений и математического анализа. Сверх всяких ожиданий убеждение (я бы лучше сказал, мечта!) в существовании гармонии в природе находит все новые и новые подтверждения в истории физики».

Теория – наиболее устойчивая форма научного знания. Но и теории подвержены количественным и качественным изменениям. По мере накопления новых фактов теории уточняются и дополняются. Об этом образно писал Л. де Бройль:

«Когда физическая теория добивается получения связного математического представления об известных явлениях, она стремится к тому, чтобы предсказать новые явления. Иногда эти предсказания подтверждаются дальнейшими экспериментальными исследованиями и теория, выдержав, таким образом, испытание, укрепляется. Иногда – и можно сказать, что с течением времени это всегда в конце концов происходит, - либо эксперимент не подтверждает одного из предсказаний теории, либо вдруг в ходе эксперимента обнаруживается зачастую, независимо от воли исследователей, новый факт, который не согласуется с теорией. Тогда нужно доделать или переделать воздвигнутое ранее здание теории. Но, и это существенно, такая переделка, поскольку она всегда должна производиться с учетом всех накопленных ранее фактов, должна быть осуществлена так, чтобы включить тем или иным образом, и зачастую в качестве первого приближения, в новую теорию предыдущую теорию и всю совокупность уравнений, на которых она зиждется, хотя их истолкование может измениться. Таким образом, новая теория должна признать все точные предсказания старой теории, но, отличаясь от нее в некоторых пунктах, она должна строго предвидеть наблюдаемые факты, в том числе и те, которые старая теория не в состоянии предвидеть. Путем таких последовательных включений развивается теоретическая физика; не отрицая ни одного из своих предыдущих успехов, она охватывает все время изменяющимся и расширяющимся синтезом возрастающее число экспериментальных фактов».

Процесс познания мира бесконечен. Наши знания на каждой ступени развития науки обусловлены исторически достигнутым уровнем познания и не могут быть окончательными. С точки зрения философии, наши знания об окружающем мире всегда относительны, т.е. нуждаются в дальнейшем развитии и проверке. Вместе с тем всякая научная теория содержит элементы абсолютного знания. Сколь бы хорошей не была теория, всегда через некоторое время обнаруживаются факты, не укладывающиеся в рамки этой теории. Ей на смену приходит новая, более широкая теория. М.Планк заметил:

«Первый повод к пересмотру или изменению какой-нибудь физической теории почти всегда вызывается установлением одного или нескольких фактов, которые не укладываются в рамки прежней теории. Факт является той архимедовой точкой опоры, при помощи которой сдвигаются с места даже самые солидные теории. Поэтому для настоящего теоретика ничто не может быть интереснее, чем такой факт, который находится в прямом противоречии с общепринятой теорией: ведь здесь, собственно, начинается его работа».

А.Эйнштейн писал:

«Вера в существование внешнего мира, независимого от воспринимающего субъекта, есть основа всего естествознания. Но так как чувственное восприятие дает информацию об этом внешнем мире, или о физической реальности, только опосредованно, мы можем охватить последнюю только умозрительными средствами. Из этого следует, что наши представления о физической реальности никогда не могут быть окончательными. Мы всегда должны быть готовы изменить эти представления, то есть изменить аксиоматическую базу физики, чтобы обосновать факты восприятия логически наиболее совершенным образом. И, действительно, беглый взгляд на развитие физики показывает, что ее аксиоматическая основа с течением времени испытывает глубокие изменения».

Свои слова он иллюстрировал сравнением физики Ньютона, основанной на принципе дальнодействия, с физикой Фарадея – Максвелла, основанной на концепции электромагнитного поля.

Согласно сформулированному Н.Бором принципу соответствия, новая научная теория не отвергает полностью предшествующую, а включает в себя старую теорию как составную часть, устанавливая для нее ограниченную область применения. Американский физик-теоретик В.Ф.Вайскопф по этому поводу писал:

«Любая из новых революционных идей в современной науке возникла как усовершенствование старой системы мышления, ее обобщение и расширение. Теория относительности не устраняет механику Ньютона – орбиты спутников все еще рассчитываются по ньютоновской теории, ─ она расширяет область применения механики на случай высоких скоростей и устанавливает общую значимость одних и тех же концепций для механики и теории электричества. Появление квантовой теории, видимо, больше других событий в науке напоминает революцию, но даже эти идеи, например соотношения неопределенностей, следует рассматривать как уточнение классической механики при переходе к рассмотрению очень малых систем; они не меняют степени приложимости классической механики к движению более крупных тел».

Иногда изменения затрагивают фундаментальные принципы теории. Изменения в наиболее общих теориях приводят к изменению всей системы теоретического знания. Происходит научная революция.

<10 11 121314 15 16 >

Дата добавления: 2018-05-10; просмотров: 2321;