Физические приложения определенного интеграла

В лекции 19 мы доказали, что с физической точки зрения, интеграл численно равен массе прямолинейного тонкого неоднородного стержня длины l = ba, с переменной линейной плотностью r = f(x), f(x) ³ 0, где х – расстояние от точки стержня до его левого конца.

Рассмотрим другие физические приложения определенного интеграла.

Задача 1. Найти работу, необходимую для выкачивания масла из вертикального цилиндрического резервуара высотой Н и радиусом основания R. Плотность масла равна r.

Решение. Построим математическую модель данной задачи. Пусть ось ОХ проходит вдоль оси симметрии цилиндра высоты Н и радиуса R, начало – в центре верхнего основания цилиндра (рис.17). Разобьем цилиндр на п малых горизонтальных частей. Тогда , где Ai – работа по выкачиванию i-го слоя. Это разбиение цилиндра соответствует разбиению отрезка [0, H] изменения высоты слоя на п частей. Рассмотрим один из таких слоев, расположенный на расстоянии хi от поверхности, шириной Dх (или сразу dx). Выкачивание этого слоя можно рассматривать как «поднятие» слоя на высоту хi.

Тогда работа по выкачиванию этого слоя равна

Ai »Рixi, ,

где Рi =rgVi = rgpR2dx, Рi – вес, Vi – объем слоя. Тогда Ai » Рixi = rgpR2dx.хi , откуда

, и, следовательно, .

Задача 2. Найти момент инерции

а) полого тонкостенного цилиндра относительно оси, проходящей через ось его симметрии;

б) сплошного цилиндра относительно оси, проходящей через ось его симметрии ;

в) тонкого стержня длины l относительно оси, проходящей через его середину;

г) тонкого стержня длины l относительно оси, проходящей через его левый конец.

Решение. Как известно, момент инерции точки относительно оси равен J=mr2, а системы точек .

а) Цилиндр тонкостенный, значит, толщиной стенок можно пренебречь. Пусть радиус основания цилиндра R, высота его Н, плотность масс на стенках равна r.

 


Разобьем цилиндр на п частей и найдем , где Ji – момент инерции i-го элемента разбиения.

Рассмотрим i-й элемент разбиения (бесконечно малый цилиндрик). Все его точки находятся на расстоянии R от оси l. Пусть масса этого цилиндрика тi , тогда тi = rVi » rSбок = 2prRdxi, где хi Î[0, H]. Тогда Ji » R2prRdxi, откуда

.

Если r – постоянная, то J = 2prR3Н, а так как при этом масса цилиндра равна М = 2prRН, то J = МR2.

б) Если цилиндр сплошной (заполненный), то разобьем его на п вложенных один в другого тонких цилиндров. Если п велико, каждый из этих цилиндров можно считать тонкостенным. Это разбиение соответствует разбиению отрезка [0, R] на п частей точками Ri. Найдем массу i-го тонкостенного цилиндра: тi = rVi, где

Vi = pRi2Н – pRi-12Н = pН(Ri2 –Ri-12) =

= pН(Ri –Ri-1)(Ri +Ri-1).

Ввиду того, что стенки цилиндра тонкие, то можно считать, что Ri +Ri-1» 2Ri, а Ri –Ri-1 = DRi , тогда Vi» pН2RiDRi, откуда тi » rpН×2RiDRi,

а .

Тогда окончательно

в) Рассмотрим стержень длины l, плотность масс которого равна r. Пусть ось вращения проходит через его середину.

Моделируем стержень как отрезок оси ОХ, тогда ось вращения стержня –ось ОУ. Рассмотрим элементарный отрезок , масса его , расстояние до оси можно считать приближенно равным ri = хi. Тогда момент инерции этого участка равен , откуда момент инерции всего стержня равен . Учитывая, что масса стержня равна , то

.

г) Пусть теперь ось вращения проходит через левый конец стержня, т.е. моделью стержня является отрезок оси ОХ. Тогда аналогично , ri = хi, , откуда , а так как , то .

Задача 3. Найти силу давления жидкости с плотностью r на прямоугольный треугольник с катетами а и b, погруженный вертикально в жидкость так, что катет а находится на поверхности жидкости.

 

Решение.

Построим модель задачи. Пусть вершина прямого угла треугольника находится в начале координат, катет а совпадает с отрезком [0; a] оси ОУ (ось ОУ определяет поверхность жидкости), ось ОХ направлена вниз, катет b совпадает с отрезком [0; b] этой оси. Гипотенуза этого треугольника имеет уравнение , или .

Известно, что если на горизонтальную область площади S, погруженную в жидкость плотности r, давит столб жидкости высотой h, то сила давления равна (закон Паскаля). Воспользуемся этим законом.

На отрезке [0; b] оси ОХ возьмем элементарный участок . В силу того, что ширина его бесконечно мала, можно считать, что соответствующий этому отрезку элемент площади треугольника (элементарная трапеция) расположен в жидкости горизонтально на глубине хi, а сама площадь этого элемента равна приближенно площади прямоугольника со сторонами и , т.е. . Тогда по закону Паскаля этот элементарный участок треугольника испытывает давление

.

Тогда приближенно давление F можно представить в виде , а истинное значение F равно , откуда искомое давление равно

.

 

Задача 4. Скорость точки при прямолинейном движении равна м/с. Найти путь, пройденный точкой за первые 10 секунд движения.

 

Решение.

Известно, что скорость точки и пройденный путь при прямолинейном движении связаны соотношением или . Тогда . А путь, пройденный за время есть приращение этой функции на этом отрезке, т.е. м.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Прямая в пространстве. | Строение нервной системы


Дата добавления: 2017-11-21; просмотров: 1170; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.031 сек.