Метод непосредственного интегрирования

Под непосредственным интегрированием будем понимать приведение заданного интеграла к одному или нескольким табличным с помощью тождественных преобразований подынтегрального выражения и свойств неопределенного интеграла. Рассмотренные в предыдущей лекции примеры демонстрировали применение тождественных преобразований и свойства линейности для приведения заданного интеграла к нескольким табличным.

Рассмотрим особо применение свойства 6 к вычислению неопределенного интеграла:

если , то для любой дифференцируемой функции и = и(х).

Это свойство позволяет значительно расширить таблицу простейших интегралов, так как в силу его все формулы таблицы справедливы не только для независимой переменной х, но и в случае, когда х – дифференцируемая функция какой-либо другой переменной.

Например, , но и , и .

Или и , .

В рассмотренных интегралах , , подынтегральная функция есть сложная функция некоторой переменной , и под знаком дифференциала стоит эта же функция . При этом каждый из интегралов, на основании свойства 6, является табличным. В некоторых случаях в заданном подынтегральном выражении удается сформировать дифференциал некоторой функции так, чтобы этот дифференциал в совокупности с остальным выражением составляли табличную формула относительно функции . Такой прием называется подведением под знак дифференциала. При этом используется тот факт, что

Рассмотрим примеры.

Пример2.

а) ;

б)

.

в)

(в последнем примере записано ln(3 + x²) вместо ln|3 + x²| , так как выражение 3 + x² всегда положительно).

Выведем несколько дополнительных формул, которые наряду с табличными желательно запомнить.

,

,