Основные соотношения между ВЧХ и переходной характеристикой

1. Начальное значение ВЧХ P(0) равно установившемуся значению переходной характеристики hу_ст= P( ) = P(0).

2. САУ с вогнутой ВЧХ (рис.97а кривая 1) не имеет перерегулирования, то есть ей соответствует монотонная переходная характеристика (рис.97б кривая 1).

3. САУ с трапециидальной ВЧХ (рис.97а кривая 2, такую ВЧХ можно аппроксимировать трапецией) имеет апериодическую переходную характеристику (рис.97б кривая 2), причем величина перерегулированияs_max не превышает 18%.

4. Кривые 3 и 4 на рис.97а соответствуют колебательной переходной характеристике (рис.97б кривая 3). Величина перерегулирования s_max тем больше, чем больше отношение P( )_max/P(0). Если это отношение стремится к бесконечности, то есть имеет место разрыв ВЧХ, то переходная характеристика приобретает вид незатухающих колебаний и САУ переходит на границу устойчивости. Величину перерегулирования можно приблизительно вычислить исходя из соотношения

s_max < .

Наличие отрицательного экстремума у ВЧХ (кривая 4) свидетельствует о повышенной колебательности системы.

5. Время переходного процесса t_пп можно оценить приблизительно по виду ВЧХ без построения кривой h(t). Оно определяется полосой частот w_п, при которыхP( ) > 0.2P(0) (рис.98). _п называют интервалом положительности P( ). При этом всегдаt_пп >p/ _п. Для кривой 1 рис.97а: t_пп 4 / _п. Для кривой 2: t_пп (1..4)4 / _п. Для кривых 3 и 4 коэффициент пропорциональности больше, причем он тем больше, чем больше отношение P( )_max/P(0).

Метод трапецийоснован на свойствах ВЧХ, следующих из полученной ранее формулы, которые мы рассмотрим без доказательств.

1. Свойство линейности: если ВЧХ можно представить суммой P( ) = SPi( ), то каждой составляющей Pi( )будет соответствовать составляющая переходной характеристики

при этомh(t) = (рис.99а). Поэтому, если ВЧХ имеет сложную форму, ее можно представить суммой трапециидальных ВЧХ, примыкающих к вертикальной оси. Затем все трапеции перерисовывают, перенося их основания на горизонтальную ось (рис.99б). Каждой такой трапеции соответствует своя составляющая переходной характеристики h_i(t), имеющая апериодический характер (рис.99в). Результирующая кривая строится суммированием данных составляющих.

2. Если умножить P( ) на постоянный множитель а, то соответствующая ейh(t) также умножается на а. То есть, чем выше ВЧХ, тем выше и переходная характеристика (рис.100).

3. Если аргумент w в выражении ВЧХ P( ) умножить на постоянный множительа, то аргумент в h(t)будет делиться на это число, то есть

То есть переходный процесс в случае P(a ) будет протекать в а раз быстрее, чем в случае P( ) (рис.101).

Рассмотрим трапециидальную ВЧХ (рис.102а). Она характеризуется коэффициентом наклона k = ₁ ₂. Под единичной трапецией (рис.102б) понимают трапецию, две стороны которой совпадают с осями координат и равны по 1 в соответствующих масштабах; наклон kможет быть различным: P₁( ) = .

Подставляя это определение в выражение для определения h(t) можно вычислить кривую переходного процесса, соответствующую единичной трапециидальной ВЧХ. Эти расчеты были проделаны и составлены таблицы h_k-функций.

Для любой трапециидальной ВЧХ, на которые разбита реальная ВЧХ (рис.99б), можно построить подобную ей единичную трапецию со значением k = ₁ ₂, где ₁ - частота, соответствующая перелому реальной трапеции, ₂ - основание трапеции реальной ВЧХ. Для данной единичной трапеции по таблице h_k-функций строят кривую h_k(k,t), где t- время. Затем, используя свойства 2 и 3 масштабирования ВЧХ и переходной характеристики строят кривую переходного процесса, соответствующего данной трапециидальной ВЧХ. Причем оба описанных процесса можно совместить: сначала задаются моментом времени t, для него по таблице находят значениеh_k(k,t), потом умножают это значение наP(0) (масштабирование по вертикальной оси) и откладывают полученное значение на графике h(t) для времени t = t/ ₂ (масштабирование по горизонтальной оси). Строя таким образом точки для различных моментов времени получают кривую