Качество процесса регулирования

Определение показателей качества переходного процесса (время регулирования, величина перерегулирования).

Ошибки регулирования (статическая ошибка, динамические ошибки). Методы определения коэффициентов ошибок регулирования.

Устойчивость САУ является необходимым, но не достаточным условием для ее эффективного функционирования. Важное значение имеет качество управления, то есть степень удовлетворения совокупности требований к форме кривой переходного процесса, которая определяет пригодность системы для конкретных условий работы.

Для сравнения качества различных САУ исследуется их реакция на типовые воздействия. Обычно это ступенчатая (толчковая) функция, как один из наиболее неблагоприятных видов возмущений. Для систем, работающих с периодическими возмущениями, целесообразно оценивать качество управления при гармоническом воздействии. Все остальные возмущения можно разложить на ступенчатые воздействия с использованием интеграла Дюамеля, либо в ряд Фурье.

Все современные методы анализа качества управления можно разделить на прямые методы анализа по кривой переходного процесса или по частотным характеристикам, и косвенные методы, позволяющие, не решая дифференциального уравнения, определить некоторые показатели качества процесса управления; к ним, в частности, относятся корневые, интегральные и частотные методы.

Пусть САР (рис.84) приt = 0воздействует возмущающий фактор f в виде единичной ступенчатой функции. При нулевых начальных условиях динамический режим описывается переходной характеристикой h(t) = y(t) = y(t) - y₀ = -e(t) (рис.85). По ней можно определить все наиболее важные показатели качества управления.

1. Статическая ошибка e_уст = y₀ - yуст = -h_уст - это разность между предписанным и действительным значением управляемой величины в установившемся режиме. Для статических систем статическая ошибка отлична от нуля (рис.85а) и пропорциональна величине возмущающего фактора f (в линейных САУ) и коэффициенту передачи системы по данному возмущению, а для астатических - равна нулю (рис.85б).

2. Время переходного процесса t_пп - это время от момента воздействия, начиная с которого колебания управляемой величины не превышают некоторого наперед заданного значения, то есть|h(t)-h_уст| . Обычно принимают = 0.05h_уст.

3. Перерегулирование s - это максимальное отклонение управляемой величины от установившегося значения, выраженное в относительных единицах:s = . Здесь h_max1 - значение первого максимума переходной характеристики. При больших перерегулированиях могут возникнуть значительные динамические усилия в механической части системы, электрические перенапряжения и т.п. Допустимое значение sопределяется из опыта эксплуатации. обычно оно составляет 0.1...0.3, иногда допускается до 0.7.

4. Частота колебаний = 2 /T, гдеT - период колебаний.

5. Число колебаний n за время t_пп.

6.Декремент затухания k, равный отношению двух смежных перерегулирований: .

При создании САУ допустимые значения показателей качества оговариваются техническими условиями, что можно представить в виде диаграммы показателей качества. Это область, за границы которой не должна выходить переходная характеристика (рис.86).

Периодические возмущения можно разложить в ряд Фурье, поэтому их воздействие удобно анализировать по частотным характеристикам, показывающим, как звено преобразует гармонический сигнал.

Обычно используют АЧХ замкнутой САУ (рис.87), которую легко построить по АФЧХ разомкнутой САУ W_p(j ), по формуле

Aз = .

По этой кривой можно получить ряд показателей качества.

1. Показатель колебательности M - это отношение максимального значения АЧХ замкнутой САУ к ее значению при = 0, то есть M = A_зmax( )/Aз(0). Так как

Aз(0) = 1,

при K_p >> 1, тоM A_зmax( ). Он характеризует склонность системы к колебаниям и не должен превышать 1.5.

2.Резонансная частота системы _p - это частота, при которой колебания проходят через систему с наибольшим усилением, а АЧХ достигает максимума.

3. Полоса пропускания системы - это интервал частот от = 0до = ₀, на котором выполняется условие Aз( ₀) 0.707. Если она высокая, то система будет воспроизводить высокочастотные помехи.

4. Частота среза _ср - при которой АЧХ замкнутой САУ принимает значение, равное единице. По ней можно судить о длительности переходного процесса t_пп (1..2)2 /_ср.

5. Склонность САУ к колебаниям характеризуют также ее запасы устойчивости по модулю (допускается от 6 до 20дб) и по фазе (допускается от 30 до 60 градусов).

Корневой метод оценки качества управления- косвенный метод, основанный на определении границ области расположения корней характеристического уравнения на комплексной плоскости, что дает возможность приблизительно оценить качество управления.

Пусть имеется дифференциальное уравнение замкнутой САУ:

(a₀pⁿ + a₁p^n-1 + a₂p^n-2 + ... + (a_n)y = (b₀p^m + b₁p^m-1 + ... + b_m)u.

Передаточная функция САУ

,

где p~¹,p~²,...,p~^m - нули передаточной функции, p¹,p²,...,pⁿ - полюса передаточной функции.

Переходный процесс зависит как от полюсов, так и от нулей, то есть определяется как левой, так и правой частями дифференциального уравнения. Это существенно усложняет анализ. Поэтому рассмотрим частный, но весьма распространенный случай, когда передаточная функция замкнутой САУ не имеет нулей:

.

Тогда уравнение динамики приобретает вид:

(a₀pⁿ + a₁p^n-1 + a₂p^n-2 + ... + a_n)y = b₀u.

Общее решение данного уравнения имеет вид:

y(t) = y^св + y^вын = åA_ie^pit + bо/a_n.

Время переходного процесса t^пп определяется длительностью свободного процесса, который представляет собой сумму n экспоненциально затухающих составляющих (рис.88). Затухание каждой из составляющих определяется вещественной частью соответствующего плюса pi, которая для устойчивых систем должна быть отрицательна. Длительность переходного процесса определяется в основном свободной составляющей, имеющей наименьшее затухание, то есть наименьшее абсолютное значение вещественной части соответствующего полюса.

Если изобразить все полюса в комплексной плоскости корней (рис.89), то данный полюс (или пара комплексно сопряженных полюсов) будет наиболее близко расположен к мнимой оси.

Для приблизительной оценки качества САУ на плоскости корней выделяется область в виде трапеции, на сторонах которой находится хотя бы по одному корню, все остальные корни - внутри данной области. Эта область характеризуется параметрами: h - степень устойчивости (равна расстоянию от мнимой оси до ближайшего корня или пары комплексно сопряженных корней);m = tg(j) - колебательность (характеризует колебательность переходного процесса и величину перерегулирования);x - своего названия не имеет, равна вещественной части наиболее удаленного от мнимой оси корня.

По степени устойчивости h можно приблизительно вычислить время переходного процесса, которое определяется по моменту, когда свободная составляющая с наименьшим затуханием уменьшится до величины A_i, где A_i - начальное значение данной составляющей, то на рис.84:

y^св₃(t) = A₃ = A₃ = > .

В общем случае, когда передаточная функция замкнутой САУ имеет нули, то использование данного метода может дать большую ошибку. Однако всегда качество управления будет тем лучше, чем больше h и меньше m, поэтому данный метод имеет смысл для любых САУ, но приближенно.

Зная значения h, x, m можно оценить область, за которую кривая переходного процесса выходить не будет (рис.90). Для этого строятся две кривые: u(t,h) - миноранта и v(t,h) - мажоранта, ограничивающая кривую переходного процесса соответственно снизу и сверху так, что u(t,h) e(t) v(t,h), где e(t) = y_o-y(t). Формулы для определения миноранты и мажоранты берутся в справочниках для конкретных случаев.

Интегральные критерии качествапозволяют судить о качестве управления путем вычисления интегралов от некоторых функций управляемой величины. Эта функция выбирается таким путем, чтобы значение определенного интеграла от этой функции по времени от 0 до + было однозначно связано с качеством переходного процесса. В то же время данный интеграл должен сравнительно просто вычисляться через коэффициенты уравнений исследуемой системы.

Например, если переходная характеристика является монотонной, то можно утверждать, что качество переходного процесса тем лучше, чем меньше площадь, ограниченная данной кривой и установившимся значением управляемой величины (рис.91). Она равна площади, ограниченной кривой изменения свободной составляющей управляемой величины и осью абсцисс.

Если система устойчива, то свободная составляющая управляемой величины в пределе стремится к нулю , поэтому площадь ограниченная данной кривой имеет конечное значение и определяется по формуле:

J_oo = .

Величина J_oo представляет собой линейную оценку качества управления. Чем она меньше, тем выше быстродействие системы. При выборе параметров системы стремятся обеспечить минимум J_oo. Если имеется какой то варьируемы параметр A, то можно построить кривуюJ_oo = f(A) (рис.92). Ее минимум, определяемый из условияdJ_oo/dA = 0, даст оптимальное значение A.

Пусть дано уравнение динамики замкнутой САУ:

(a₀pⁿ + a₁p^n-1 + a₂p^n-2 + ... + a_n)y = (b₀p^m + b₁p^m-1 + ... + b_m)u.

Свободный процесс описывается однородным дифференциальным уравнением:

(a₀pⁿ + a₁p^n-1 + ... + a_n)y^св = 0,

следовательно:

y^св =

y^св =

J_oo = св(t)dt = .

Пусть при t = 0 САУ имела следующие начальные условия:

y^св(0) = y₀, = y₀’, ..., = y₀^(n-1).

Кроме того

y^св( ) = 0, ( ) = 0,..., ( ) = 0,

так как процесс затухает и при t свободная составляющая и все производные становятся равны нулю. Подставляя эти значение, получаем:

J_oo = (a₀y₀^(n-1) + a₁y₀^(n-1) + ... + a_n-1y₀)/(a_n.

То есть линейную оценку качества регулирования можно легко вычислить, зная начальные условия и коэффициенты дифференциального уравнения. Возможны и другие линейные оценки качества, но они используются реже, например:

J₀₁ = св(t) t dt;

J_0n = св(t) tⁿdt.

Линейные оценки качества неприменимы при колебательном процессе. Так как площади, ограниченные кривой y^св(t) и осью абсцисс складываются с учетом знака, то минимальному значению J_oo может соответствовать процесс с большим числом колебаний и малым быстродействием (рис.93). В этом случае более эффективны квадратичные оценки качества, например,

J₂₀ = y^св₂(t)dt.

Значение этого интеграла соответствует площади под кривой y^св₂(t)и осью абсцисс, которая всегда положительна (рис.94).

Выбирая параметры САУ по минимуму J₂₀ мы приближаем кривую y^св(t) к осям координат, что приводит к уменьшению времени регулирования (рис.95). Вывод формулы для вычисления этой оценки сложен, поэтому ограничимся замечанием, что значение вычисляется через коэффициенты дифференциального уравнения a₀...a_n,b₀...b_m. При вычислении слагаемых в этой формуле используются определители Гурвица, так что даже расчет по ней сопряжен с определенными трудностями и требует использования ЭВМ или специальных таблиц.

При выборе параметров САУ по минимуму J₂₀ часто получают нежелательную колебательность процесса, так как приближение y^св(t) к оси ординат вызывает резкое увеличение начальной скорости, что в свою очередь может вызвать большое перерегулирование, уменьшив при этом запас устойчивости. Для того, чтобы обеспечить плавность протекания процесса, в квадратичную оценку качества добавляется слагаемое, зависящее от скорости изменения регулируемого параметра y^св’(t). Получаем критерий качества

J₂₁ = св₂(t) + t₂ (y^св’(t))₂]dt,

где - некоторая наперед заданная постоянная времени, определяющая весовое соотношение между оценкой по y^св и по y^св’. При малых значенияхуменьшение колебательности будет незначительным. Завышение увеличит время переходного процесса так, что ее выбор определяется конкретными условиями.

Этот интеграл имеет наименьшее значение, если переходный процесс соответствует экспоненте с постоянной времени (рис.96). Другими словами, по соображениям качества управления следует стремиться к тому, чтобы переходная характеристика замкнутой САУ как можно меньше отличалась от характеристики инерционного звена первого порядка, имеющего наперед заданную постоянную времени , значение которой определяются техническими условиями.

Задача выбора параметров САУ по минимумуJ₂₀ и J₂₁ решается аналитически только в случае невысокого порядка дифференциального уравнения. Иначе используют ЭВМ.

Частотные методы оценки качества основаны на привычном для инженеров графическом изображении динамических характеристик, которые можно снять экспериментально, поэтому они находят широкое применение. В частности зная АФЧХ разомкнутой САУ W_p(j ), можно построить АФЧХ замкнутой САУ

Wз(j ) = = P_з( ) + jQ_з( ),

а по ней - требуемую для частотных методов вещественную ЧХ замкнутой САУ P_з( ). Зная ВЧХ замкнутой САУ, можно приближенно построить переходную характеристику САУ h(t), которую снять экспериментально очень трудно, и по ней определить показатели качества управления.

Теоретическое обоснование этого в том, что любую функцию, в том числе и единичную ступенчатую, можно разложить в ряд Фурье:

1(t) = A₀ + A_k1cos(k t) + A_k2sin(k t)].

Так как замкнутая САУ линейна, то при подаче на вход суммы сигналов с выхода снимается сигнал, равный сумме реакций на каждый из входных сигналов. Входному сигналу ui(wi,t) на выходе будет соответствовать составляющая выходного сигналаy_i( _i,t) = W(j _i) u_i( _i,t), тогда

h(t) = = A₀W(0) + (jkw) [A_k1cos(kwt) + A_k2sin(kwt)].

Преобразование этого выражения приводит к двум равнозначным формулам определения h(t) через составляющие ВЧХ:

; ,

где P( )и Q( ) - вещественная и мнимая части АФЧХ замкнутой САУ. Предпочтение обычно оказывают первой формуле, хотя с одинаковым успехом можно использовать и вторую.

Точно вычислить эти интегралы можно только с помощью ЭВМ, но в практике нашел широкое применение приближенный способ построения переходной характеристики на основе линейной аппроксимации ВЧХ замкнутой САУ, который называется метод трапеций. Прежде, чем рассматривать этот метод, рассмотрим без доказательства основные соотношения между ВЧХ замкнутой САУ и ее переходной характеристикой.