Решение гидродинамической части задачи (решение Блазиуса)

Точное решение уравнения движения в приближении пограничного слоя получено Блазиусом при использовании автомодельных переменных.

Уравнение движения

.

(9.13)

Запишем в переменных Блазиуса:

; .

(9.14)

Запишем

.

(9.15)

Так как

,

(9.16)

то

.

(9.17)

Запишем

.

(9.18)

Так как

,

(9.19)

тогда:

.

(9.20)

Найдем из уравнения неразрывности:

.

(9.21)

Возьмем вышеуказанный интеграл по частям:

.

(9.22)

После подстановки в исходное уравнение получим

(9.23)

После сокращения получим:

.

(9.24)

Правая часть исходного уравнения движения запишется как

.

(9.25)

Таким образом уравнение движения в переменных Блазиуса:

.

(9.26)

Введем условие для выбора .

Будем считать, что , откуда .

Значит, переменная Блазиуса может быть записана как

.

(9.27)

Окончательное уравнение движения:

.

(9.28)

Решается при граничных условиях

Перейдем от интегро-дифференциального уравнения к дифференциаль- ному уравнению более высокого порядка вводя функцию как:

или

(9.29)

и положим , тогда получаем дифференциальное уравнение Блазиуса третьего порядка

	(9.30)
с граничными условиями ;
.

Уравнение нелинейное, поэтому нет решений в классе обыкновенных функций. Блазиус решал уравнение в форме рядов и получил:

			0,33206
	0,16557	0,32979	0,32301
	0,65003	0,62977	0,26675
	1,39682	0,84605	0,16136
	2,30576	0,95552	0,06424
	3,28329	0,99155	0,01591

Заметим, что при , то есть является границей пограничного слоя. Отсюда:

.

(9.31)

Касательное напряжение вязкого трения равно:

.

(9.32)

Т.к. , то:

.

(9.33)

Касательное напряжение часто записывают через коэффициент трения C_f:

.

(9.34)

Сопоставляя эти два соотношения, получим закон Блазиуса:

.

(9.35)

Значения теплового и гидродинамического слоев связаны соотношением:

.

(9.36)

Ранее мы получили , тогда:

.

(9.37)

Для капельных жидкостей , следовательно , то есть выполняется условие, принятое при интегрировании. Для жидких металлов тогда и полученные результаты неприемлемы. Для газов (хотя ) опыт показывает, что результат приемлем.

Получим соотношение для теплоотдачи вида . Из решения тепловой задачи обтекания пластины было получено соотношение для расчета коэффициента теплоотдачи:

.

(9.38)

Вводя и подставляя расчетное значение α и δ_Т, окончательно получим

.

(9.39)