Решение гидродинамической части задачи (решение Блазиуса)
Точное решение уравнения движения в приближении пограничного слоя получено Блазиусом при использовании автомодельных переменных.
Уравнение движения
. | (9.13) |
Запишем в переменных Блазиуса:
; . | (9.14) |
Запишем
. | (9.15) |
Так как
, | (9.16) |
то
. | (9.17) |
Запишем
. | (9.18) |
Так как
, | (9.19) |
тогда:
. | (9.20) |
Найдем из уравнения неразрывности:
. | (9.21) |
Возьмем вышеуказанный интеграл по частям:
. | (9.22) |
После подстановки в исходное уравнение получим
(9.23) |
После сокращения получим:
. | (9.24) |
Правая часть исходного уравнения движения запишется как
. | (9.25) |
Таким образом уравнение движения в переменных Блазиуса:
. | (9.26) |
Введем условие для выбора .
Будем считать, что , откуда .
Значит, переменная Блазиуса может быть записана как
. | (9.27) |
Окончательное уравнение движения:
. | (9.28) |
Решается при граничных условиях
Перейдем от интегро-дифференциального уравнения к дифференциаль- ному уравнению более высокого порядка вводя функцию как:
или | (9.29) |
и положим , тогда получаем дифференциальное уравнение Блазиуса третьего порядка
(9.30) | ||
с граничными условиями ; | ||
. | ||
Уравнение нелинейное, поэтому нет решений в классе обыкновенных функций. Блазиус решал уравнение в форме рядов и получил:
0,33206 | |||
0,16557 | 0,32979 | 0,32301 | |
0,65003 | 0,62977 | 0,26675 | |
1,39682 | 0,84605 | 0,16136 | |
2,30576 | 0,95552 | 0,06424 | |
3,28329 | 0,99155 | 0,01591 | |
Заметим, что при , то есть является границей пограничного слоя. Отсюда:
. | (9.31) |
Касательное напряжение вязкого трения равно:
. | (9.32) |
Т.к. , то:
. | (9.33) |
Касательное напряжение часто записывают через коэффициент трения Cf:
. | (9.34) |
Сопоставляя эти два соотношения, получим закон Блазиуса:
. | (9.35) |
Значения теплового и гидродинамического слоев связаны соотношением:
. | (9.36) |
Ранее мы получили , тогда:
. | (9.37) |
Для капельных жидкостей , следовательно , то есть выполняется условие, принятое при интегрировании. Для жидких металлов тогда и полученные результаты неприемлемы. Для газов (хотя ) опыт показывает, что результат приемлем.
Получим соотношение для теплоотдачи вида . Из решения тепловой задачи обтекания пластины было получено соотношение для расчета коэффициента теплоотдачи:
. | (9.38) |
Вводя и подставляя расчетное значение α и δТ, окончательно получим
. | (9.39) |
Дата добавления: 2017-10-04; просмотров: 2910;