Регулярный режим охлаждения

Анализ решений для охлаждения (нагревания) тел разной формы показывает, что все они представляют сумму бесконечного ряда, члены которого соответствуют быстро убывающим экспоненциальным функциям. где А_n константа для каждого члена ряда, которая находится из начальных условий. Множитель зависит только от координаты Х. Комплекс является постоянным, положительным, вещественным числом: m₁<m₂<…<m_n.

Тогда уравнение нестационарной теплопроводности запишется в виде:

.

(4.35)

Уравнение справедливо для тел разной геометрии, которая учитывается видом сомножителей A_n, U_n. При малых значениях времени от τ=0 до τ= τ₁ изменение температур зависит от начального распределения температур в теле. В этом случае поле температур будет определяться не только первым, но и последующими членами ряда. На рисунке показана «I – неупорядоченная стадия охлаждения».

Регулярный режим охлаждения

Но начиная с некоторого момента времени τ> τ₁ начальные условия играют второстепенную роль, процесс определяется интенсивностью охлаждения и физическими свойствами тела.

Тогда температурное поле достаточно точно описывается только первым членом ряда «II стадия охлаждения – регулярный режим», для которого: . Логарифмируя этот комплекс и опуская индексы, получим:

,

(4.36)

то есть в полулогарифмических координатах эта зависимость прямолинейная. При длительном охлаждении ( τ→∞) все точки тела принимают одинаковую температуру, равную температуре окружающей жидкости. Это III стадия охлаждения – стационарный режим.

Для регулярного режима после дифференцирования предыдущего

уравнения имеем:

.

(4.37)

то есть относительная скорость изменения температуры равняется константе «m», не зависящей от координат и времени. «m», 1/с – темп охлаждения.

Если есть экспериментальный график изменения избыточной температуры тела во времени, то темп охлаждения в стадии регулярного режима, 1/с:

.

(4.38)

Зависимость темпа охлаждения от физических свойств тела, его геометрии, размеров и условий теплообмена на поверхности можно найти из теплового баланса.

Изменение внутренней энергии тела, Дж:

.

(4.39)

где средняя по объему избыточная температура, К.

Теплота отдается от поверхности тела к окружающей его жидкости. По уравнению конвективной теплоотдачи, Дж:

.

(4.40)

Здесь средняя по поверхности избыточная температура; -средний коэффициент теплоотдачи. Приравнивая тепловые потоки с учетом того, что - полная теплоемкость тела, Дж/кг; -коэффициент неравномерности распределения температуры в теле, имеем:

.

(4.41)

то есть при темп охлаждения однородного изотропного тела (относительная скорость охлаждения) пропорционален коэффициенту теплоотдачи, поверхности тела и обратно пропорционален его полной теплоемкости (первая теорема Кондратьева).

Итак, рассмотрим коэффициент неравномерности распределения температуры в теле входящий в выражения для темпа охлаждения . Как же он зависит от числа Био?

А) Bi →0 (практически Bi < 0,1) – внешняя задача: распределение температур не зависит от геометрических размеров тела и его физических свойств .

В) Bi →∞ (практически Bi >100) – внутренняя задача: распределение температур зависит только от геометрических размеров тела и его физических свойств. Из-за высокого внешнего коэффициента теплоотдачи

.

(4.42)

Следовательно, в общем случае, коэффициент ψ будет изменяться от (1 при Bi = 0) до (0 при Bi = ∞).

При Bi →∞ (α→∞) темп охлаждения тела «m» становится пропорциональным его коэффициенту температуропроводности a. (вторая теорема Кондратьева):

.

(4.43)

Здесь К –коэффициент формы. Он равен для: пластины , цилиндра , для параллелепипеда , для цилиндрической болванки .