Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

,

Эту формулу можно записать в другом виде.

Так как

и ,

то

То есть, скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля одного из них, умноженному на проекцию другого вектора на первый.

Из последней формулы можно получить формулу для вычисления проекции вектора на вектор:

или

Cвойства скалярного произведения:

1. (переместительное свойство);

2. (распределительно свойство);

3. (сочетательное относительно скалярного множителя);

4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, т.е

;

Если , то .

5. Скалярное произведение одноименных орт равно единице, а разноименных равно нулю, т.е.

,

.

6. Если вектор возвести скалярно в квадрат и затем извлечь корень, то получится его модуль, т.е.

.

Пример 1. Найти скалярное произведение векторов и , если они образуют угол и их модули равны .

Решение. По определению скалярного произведения (4.17), имеем:

.

Пример 2. Вычислить скалярное произведение векторов и , зная, что и угол между ними равен .

Решение. По свойствам скалярного произведения получим:

.

Пример 3. Найти модуль вектора , если и .

Решение. По свойствам скалярного произведения имеем:

.