Метод разделения переменных (метод Фурье).

Метод разделения переменных известен около двухсот лет. Его возможности продемонстрируем при нахождении решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона в двумерной прямоугольной области D={(x, y): 0<x<a, 0<y<b}

  (1)
  (2)

Здесь u(x, y) – искомая функция, f(x, y) – известная функция, через обозначена граница области D. Заметим, что задачи с неоднородными граничными условиями с помощью подходящей замены искомой функции часто можно свести к рассматриваемой задаче (1) - (2).

В качестве подготовительного шага к решению исходной задачи рассмотрим вспомогательную задачу:

  (3)
  (4)

здесь - постоянная величина.

Задача (3) - (4) имеет название «спектральная задача», объяснение смысла этого термина приведено ниже. Функция v, удовлетворяющая уравнению (3) с граничными условиями (4) называется собственной функцией оператора Лапласа, а - собственным значением оператора. Допустим, что функция v(x, y) представима в форме произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной из переменных:

  (5)

Подставим выражение (5) в уравнение (3) и результат почленно разделим на v(x,y):

  (6)

Поскольку переменные x и y независимы друг от друга, выполнение соотношения (6) возможно только, если

  (7)
  (8)

и

  (9)

где и - постоянные величины.

Общее решение уравнения (7) имеет вид:

  (10)

а уравнения (8)

  (11)

где A, B, C и G – постоянные интегрирования, они подлежат определению из граничных условий (4).

Вспомогательная функция обращается в ноль при х=0 (значение «у» при этом лежит в пределах 0<y<b) и при у=0 (значение «х» при этом лежит в пределах 0<x<a). В силу этих условий необходимо положить

  (12)

Условие обращения функции v(x, y) в ноль при х = а приводит к условию:

  (13)

а такое же условие при y = b приводит к зависимости

  (14)

где m и n - целые положительные числа. Для того чтобы подчеркнуть зависимость функции v(x, y) от значений параметров m и n будем писать ее в форме:

  (15)

При этом

  (16)

Зависимость (16) задает совокупность собственных значений оператора Лапласа, определенного на классе функций, удовлетворяющих условию (4). Эта совокупность называется «спектром» оператора.

Система собственных функций vmn обладает свойством

  (17)

если потребовать

  (18)

Свойство (17) – ортонормированности системы функций vmn - позволяет представить произвольную функцию f(x, y) в форме разложения в ряд по системе собственных функций vmn:

  (19)

где

  (20)

Теперь можно приступить к решению основной задачи. Пусть

  (21)

Подставим выражение (21) в уравнение (1), с учетом соотношения (19)

  (22)

Замечая, что в силу уравнения (3) имеет место:

   

Перепишем уравнение (22) в форме:

  (23)

В силу линейной независимости системы собственных функций vmn необходимо потребовать обращения в ноль выражения в круглых скобках (23) для каждого из возможных значений m и n. Это позволяет записать зависимость

  (24)

После этого зависимость (21) определена, решение задачи построено.

Заметим, что в практических расчетах ряд (21) обрывается на конечном числе членов. В математических руководствах рассмотрены условия, при выполнении которых это можно сделать.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
ОЦЕНКА НА ЭЛИТНОСТЬ И ОХРАНА ПЛЮСОВЫХ ДЕРЕВЬЕВ | Метод конечных разностей.

Дата добавления: 2017-09-01; просмотров: 1157;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.011 сек.