Метод разделения переменных (метод Фурье).
Метод разделения переменных известен около двухсот лет. Его возможности продемонстрируем при нахождении решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона в двумерной прямоугольной области D={(x, y): 0<x<a, 0<y<b}
(1) | ||
(2) |
Здесь u(x, y) – искомая функция, f(x, y) – известная функция, через обозначена граница области D. Заметим, что задачи с неоднородными граничными условиями с помощью подходящей замены искомой функции часто можно свести к рассматриваемой задаче (1) - (2).
В качестве подготовительного шага к решению исходной задачи рассмотрим вспомогательную задачу:
(3) | ||
(4) |
здесь - постоянная величина.
Задача (3) - (4) имеет название «спектральная задача», объяснение смысла этого термина приведено ниже. Функция v, удовлетворяющая уравнению (3) с граничными условиями (4) называется собственной функцией оператора Лапласа, а - собственным значением оператора. Допустим, что функция v(x, y) представима в форме произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной из переменных:
(5) |
Подставим выражение (5) в уравнение (3) и результат почленно разделим на v(x,y):
(6) |
Поскольку переменные x и y независимы друг от друга, выполнение соотношения (6) возможно только, если
(7) | ||
(8) |
и
(9) |
где и - постоянные величины.
Общее решение уравнения (7) имеет вид:
(10) |
а уравнения (8)
(11) |
где A, B, C и G – постоянные интегрирования, они подлежат определению из граничных условий (4).
Вспомогательная функция обращается в ноль при х=0 (значение «у» при этом лежит в пределах 0<y<b) и при у=0 (значение «х» при этом лежит в пределах 0<x<a). В силу этих условий необходимо положить
(12) |
Условие обращения функции v(x, y) в ноль при х = а приводит к условию:
(13) |
а такое же условие при y = b приводит к зависимости
(14) |
где m и n - целые положительные числа. Для того чтобы подчеркнуть зависимость функции v(x, y) от значений параметров m и n будем писать ее в форме:
(15) |
При этом
(16) |
Зависимость (16) задает совокупность собственных значений оператора Лапласа, определенного на классе функций, удовлетворяющих условию (4). Эта совокупность называется «спектром» оператора.
Система собственных функций vmn обладает свойством
(17) |
если потребовать
(18) |
Свойство (17) – ортонормированности системы функций vmn - позволяет представить произвольную функцию f(x, y) в форме разложения в ряд по системе собственных функций vmn:
(19) |
где
(20) |
Теперь можно приступить к решению основной задачи. Пусть
(21) |
Подставим выражение (21) в уравнение (1), с учетом соотношения (19)
(22) |
Замечая, что в силу уравнения (3) имеет место:
Перепишем уравнение (22) в форме:
(23) |
В силу линейной независимости системы собственных функций vmn необходимо потребовать обращения в ноль выражения в круглых скобках (23) для каждого из возможных значений m и n. Это позволяет записать зависимость
(24) |
После этого зависимость (21) определена, решение задачи построено.
Заметим, что в практических расчетах ряд (21) обрывается на конечном числе членов. В математических руководствах рассмотрены условия, при выполнении которых это можно сделать.
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
ОЦЕНКА НА ЭЛИТНОСТЬ И ОХРАНА ПЛЮСОВЫХ ДЕРЕВЬЕВ | | | Метод конечных разностей. |
Дата добавления: 2017-09-01; просмотров: 1157;