Исследование функций с помощью производных: Достаточные признаки существования экстремумов. Выпуклость и вогнутость графика функции. Асимптоты

1. Первый и второй достаточные признаки существования экстремума.

Первый достаточный признак существования экстремума дается теоремой:

Т1. Если функция дифференцируема в некоторой окрестности точки , кроме может быть самой точки , и при переходе через эту точку слева направо ее первая производная меняет свой знак с “+” на “–”, то в точке функция имеет максимум, а если ее первая производная меняет свой знак с “–” на “+”, то в точке функция имеет минимум. Если при переходе через точку первая производная не меняет свой знак, то в этой точке экстремума нет.

Второй достаточный признак существования экстремума дается теоремой:

Т2. Если в точке первая производная функци обращается в ноль ( ), а вторая производная существует, непрерывна в некоторой окрестности этой точки и отлична от нуля в самой точке ( ), то в точке наблюдается экстремум. Если при этом , то точка является точкой минимума, а при – точкой максимума.

Пример 4. Найти и определить тип экстремумов функции .

Вычислим первую производную функции и приравняем ее к нулю с целью отыскания критических точек: . Так как показательная функция , то . Отсюда находим критические точки и . Отложим эти точки на числовой оси и на каждом интервале определим знак первой производной функции, т.е. применим первый достаточный признак существования экстремума:

– 0 + 2 –

При переходе слева направо через точку первая производная функция меняет свой знак с “–” на “+”, следовательно, в этой точке наблюдается минимум. При переходе слева направо через точку первая производная функция меняет свой знак с “+” на “–”, следовательно, в этой точке наблюдается максимум. Применим второй достаточный признак существования экстремума, для чего вычислим вторую производную функции: . Вычислим значение второй производной функции в точке : , следовательно, в этой точке функция имеет минимум. Вычислим значение второй производной функции в точке : , следовательно, в этой точке функция имеет максимум.

2. Наименьшее и наибольшее значения функции на сегменте

1. Находят область определения функции и убеждаются в том, что заданный сегмент входит в эту область.

2. Находят критические точки, для чего решают уравнение , и точки, в которых первая производная функции не существует.

3. Вычисляют значения функции в критических точках, принадлежащих заданному сегменту, в точках, в которых первая производная функции не существует и на концах заданного сегмента.

4. Из полученных чисел выбирают наименьшее и наибольшее .

Пример 5. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на сегменте .

Действуя согласно вышеприведенной схеме, находим:

1. . Следовательно, функция определена и непрерывна на заданном сегменте.

2. Вычислим первую производную . Производная существует на всей числовой оси, поэтому найдем критические точки . Отсюда находим, что и .

3. Вычислим значение функции в критических точках и на концах заданного сегмента: .

4. Из полученных чисел выбираем наименьшее и наибольшее , которые определяют наименьшее и наибольшее значения функции на сегменте .