Спектральный анализ токов и напряжений.

Простейшим периодическим сигналом является гармоническое колебание, которое, для напряжения, можно записать в следующем виде:

…………….(1)

где и - амплитуда, период, частота и начальная фаза соответственно.

Если периодический несинусоидальный сигнал задан в интервале в виде функции с частотой , где - период повторения, и при этом выполняются условия Дирихле:

1. в любом конечном интервале функция непрерывна или имеет конечное число разрывов первого рода;

2. в пределах одного периода функция имеет конечное число максимумов и минимумов,

то подобная функция может быть представлена тригонометрическим рядом Фурье:

……….(2)

Здесь - среднее значение функции за период или постоянная составляющая, а и - амплитуды косинусоидальных и синусоидальных членов разложения .

Эти величины определяются выражениями:

………………(3)

Выражение (3) можно представить в виде суммы только косинусоид или только синусоид, но с различными фазами, например

……………..(4)

где амплитуда и фаза n-ой гармоники определяются выражениями

………………………………….(5)

……………………………….……….. (6)

Совокупность значений и называется спектром функции .

На рис. 1, в качестве примера, изображён график амплитудного спектра (5):

Рис. 1. Графическое представление спектра периодической функции.

Из выражения (5) и рис. 1 видно, что спектр периодической функции (сигнала) состоит из отдельных линий, отображающих в заданном масштабе амплитуды гармоник, соответствующих частотам и т.д. Такой спектр называется линейчатым или дискретным. Для полной характеристики сигнала необходимо вычислить по формуле (6) фазу каждой гармоники.

С целью упрощения расчётов, вместо тригонометрических формул (3) и (4) можно использовать комплексную форму записи ряда Фурье, которую можно получить из выражения (3), используя формулу Эйлера:

……………………………(7)

После подстановки (7) в (2) и выполнения преобразований получим ряд Фурье в комплексной форме:

……………………………………...(8)

Комплексная амплитуда и фаза n-ой гармоники определяются выражениями:

……………….(9)

…………………………………………..(10)

Подставив значения и из (3) в (10), получим

………………………..(11)

Из полученных выражений следует, что структура спектра периодического сигнала полностью определяется двумя характеристиками: амплитудной и фазовой, т.е. модулем и аргументом комплексной амплитуды.

Действующее значение периодического несинусоидального сигнала определяется согласно (4):

…………………(12)

С учётом (12) можно получить выражение для действующего значения тока:

. ………………………… (13)

Откуда следует, что действующее значение периодического негармонического тока равно сумме действующих значений его гармоник и не зависит от их начальных фаз .

Действующее значение периодического несинусоидального напряжения находим аналогично

Среднее значение периодических несинусоидальных тока и напряжения определяются согласно выражениям (2) и (3)

Активная мощность периодического несинусоидального сигнала определяется по формуле

Пусть ток и напряжение имеют вид

где - сдвиг фаз между током и напряжением k-й гармоники.

Мгновенная мощность p(t)=u(t)*i(t). Тогда активная мощность будет представлена в следующем виде:

Таким образом, активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей отдельных гармоник.

Реактивная мощность Q несинусоидального тока определяется по аналогии с активной мощностью P как алгебраическая сумма реактивных мощностей отдельных гармоник:

Как известно, реактивная мощность Q синусоидального тока характеризует интенсивность (величину) колебаний энергии (Q=ωW_max) с частотой ω между электромагнитным полем элемента и источником. В цепи несинусоидального тока колебания энергии происходят на разных частотах. Сложение реактивных мощностей отдельных гармоник, характеризующих колебания энергии на разных частотах, лишено физического смысла. Математически может получиться, что реактивные мощности отдельных гармоник имеют разные знаки и в сумме дают нуль, хотя колебания энергии при этом имеют место. Таким образом, для цепи несинусоидального тока понятие реактивной мощности лишено физического смысла. Имеет смысл говорить лишь об основной гармонике тока и величине реактивной мощности, вызванной его отставанием от кривой напряжения. Для цепи несинусоидального тока применяется понятие полной мощности, которая определяется как произведение действующих значений напряжения и тока:

Как известно, для цепи синусоидального тока мощности P, Q, S образуют прямоугольный треугольник, из которого следует соотношение: S²=P²+Q². Для цепей несинусоидального тока это соотношение между мощностями выполняется только для резистивных элементов, в которых в соответствии с законом Ома (u=iR) формы кривых функций u(t) и i(t) идентичны. Если в цепи содержатся реактивные элементы L и С, то это соотношение не выполняется:

S²≥P²+Q².

Для баланса этого уравнения в его правую часть вносят добавочную мощность:

S^{2 =} P²+Q²+T²,

откуда

,

Добавочная мощность Т - называется мощность искажения – понятие математическое, характеризует степень различия в формах кривых напряжение u(t) и тока i(t).