Анализ выходных процессов
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть известны:
а) входной сигнал ;
б) система, описываемая дифференциальным уравнением
;
в) начальные условия:
,
.
Требуется найти выходной сигнал .
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
1. Найти свободное движение, решив однородное дифференциальное уравнение (1.26) с заданными начальными условиями (1.24).
2. Найти вынужденное движение, решив неоднородное дифференциальное уравнение (1.23) с нулевыми начальными условиями.
3. Определить выходной сигнал как сумму свободного и вынужденного движений.
Пример 1.9. Найти реакцию системы, описываемой дифференциальным уравнением
,
,
на входной сигнал при нулевых начальных условиях.
1. Найдем свободное движение. Так как начальные условия нулевые, свободное движение отсутствует, т.е. .
2. Найдем вынужденное движение как решение уравнения при условии
:
а) общее решение однородного уравнения
.
Характеристическое уравнение имеет корень
. Согласно (1.30)
общее решение однородного уравнения имеет вид ;
б) частное решение неоднородного уравнения ;
в) общее решение неоднородного уравнения:
;
г) из начального условия следует
. Окончательно
получаем .
3. Выходной сигнал определяется вынужденным движением
,
.
Реакция апериодического звена на единичное ступенчатое воздействие изображена на рис. 1.6, в.
Пример 1.10. Найти реакцию колебательного звена, описываемого дифференциальным уравнением
,
на входное воздействие при нулевых начальных условиях (здесь
).
1. Найдем свободное движение. Так как начальные условия нулевые, свободное движение отсутствует, т.е. .
2. Найдем вынужденное движение, которое является решением неоднородного дифференциального уравнения при нулевых начальных условиях
,
:
а) общее решение однородного уравнения:
.
Характеристическое уравнение имеет корни
.
Согласно (1.32) общее решение однородного уравнения имеет вид
;
б) частное решение неоднородного уравнения: . В результате подстановки в неоднородное уравнение имеем
;
в) общее решение неоднородного уравнения:
;
г) из начальных условий
,
получаем ,
, а вынужденное движение
.
3. Выходной сигнал определяется вынужденным движением:
.
Пример 1.11. Найти свободное и вынужденное движения, а также выходной сигнал системы, описываемой дифференциальным уравнением
,
с начальным условием при входном сигнале
.
1. Определяем свободное движение как решение однородного дифференциального уравнения при начальном условии
.
Характеристическое уравнение имеет корень
. Согласно (1.30) общее решение однородного уравнения имеет вид
. Из начального условия получаем
, и окончательно свободное движение
.
2. Находим вынужденное движение как решение неоднородного дифференциального уравнения при начальном условии
:
а) общее решение однородного уравнения имеет вид (см. п.1);
б) частное решение неоднородного уравнения ищется в виде . В результате подстановки в неоднородное уравнение имеем
,
;
в) общее решение неоднородного уравнения:
;
г) из начального условия следует
. Тогда вынужденное движение
.
3. Выходной сигнал определяется по формуле (1.25):
,
.
Пример 1.12. Найти свободное и вынужденное движения, а также выходной сигнал системы, описываемой дифференциальным уравнением
,
с начальными условиями ,
при входном сигнале
1. Определяем свободное движение как решение однородного дифференциального уравнения при начальных условиях
,
.
Характеристическое уравнение имеет два корня:
,
.
Согласно (1.30) получаем общее решение однородного уравнения:
.
Из начальных условий
,
.
имеем ,
, а свободное движение
.
2. Находим вынужденное движение как решение неоднородного дифференциального уравнения при условиях
,
:
а) общее решение однородного уравнения получено в п.1:
;
б) частное решение неоднородного уравнения . Подставляя в неоднородное уравнение, имеем:
. Отсюда
,
;
в) общее решение неоднородного уравнения:
;
г) подставляя в начальные условия, получаем:
,
.
Отсюда ,
, а вынужденное движение
.
3. Выходной сигнал определяется по формуле (1.25):
,
.
Пример 1.13. Найти свободное и вынужденное движения, а также выходной сигнал системы, описываемой уравнением
с начальными условиями ,
при входном сигнале
.
□ 1. Определяем свободное движение как решение однородного дифференциального уравнения при начальных условиях
,
.
Характеристическое уравнение имеет два комплексных сопряженных корня
(
,
). Согласно (1.32) получаем общее решение однородного уравнения:
.
Из начальных условий
,
имеем ,
, а свободное движение
.
Дата добавления: 2017-09-01; просмотров: 2300;