Анализ выходных процессов

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть известны:

а) входной сигнал ;

б) система, описываемая дифференциальным уравнением

;

в) начальные условия:

, .

Требуется найти выходной сигнал .

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

1. Найти свободное движение, решив однородное дифференциальное урав­нение (1.26) с заданными начальными условиями (1.24).

2. Найти вынужденное движение, решив неоднородное дифференциальное уравнение (1.23) с нулевыми начальными условиями.

3. Определить выходной сигнал как сумму свободного и вынужденного движений.

Пример 1.9. Найти реакцию системы, описываемой дифференциальным уравнением

, ,

на входной сигнал при нулевых начальных условиях.

1. Найдем свободное движение. Так как начальные условия нулевые, свободное движение отсутствует, т.е. .

2. Найдем вынужденное движение как решение уравнения при условии :

а) общее решение однородного уравнения

.

Характеристическое уравнение имеет корень . Согласно (1.30)

общее решение однородного уравнения имеет вид ;

б) частное решение неоднородного уравнения ;

в) общее решение неоднородного уравнения:

;

г) из начального условия следует . Окончательно

получаем .

3. Выходной сигнал определяется вынужденным движением

, .

Реакция апериодического звена на единичное ступенчатое воздействие изображена на рис. 1.6, в.

Пример 1.10. Найти реакцию колебательного звена, описываемого дифференциальным уравнением

,

на входное воздействие при нулевых начальных условиях (здесь ).

1. Найдем свободное движение. Так как начальные условия нулевые, свободное движение отсутствует, т.е. .

2. Найдем вынужденное движение, которое является решением неоднород­ного дифференциального уравнения при нулевых начальных условиях , :

а) общее решение однородного уравнения:

.

Характеристическое уравнение имеет корни

.

Согласно (1.32) общее решение однородного уравнения имеет вид

;

б) частное решение неоднородного уравнения: . В результате подстановки в неоднородное уравнение имеем ;

в) общее решение неоднородного уравнения:

;

г) из начальных условий

,

получаем , , а вынужденное движение

.

3. Выходной сигнал определяется вынужденным движением:

.

Пример 1.11. Найти свободное и вынужденное движения, а также выход­ной сигнал системы, описываемой дифференциальным уравнением

,

с начальным условием при входном сигнале .

1. Определяем свободное движение как решение однородного дифференциального уравнения при начальном условии .

Характеристическое уравнение имеет корень . Согласно (1.30) общее решение однородного уравнения имеет вид . Из начального условия получаем , и окончательно свободное движение

.

2. Находим вынужденное движение как решение неоднородного дифференциального уравнения при начальном условии :

а) общее решение однородного уравнения имеет вид (см. п.1);

б) частное решение неоднородного уравнения ищется в виде . В результате подстановки в неоднородное уравнение имеем , ;

в) общее решение неоднородного уравнения:

;

г) из начального условия следует . Тогда вынужден­ное движение

.

3. Выходной сигнал определяется по формуле (1.25):

, .

Пример 1.12. Найти свободное и вынужденное движения, а также выход­ной сигнал системы, описываемой дифференциальным уравнением

,

с начальными условиями , при входном сигнале

1. Определяем свободное движение как решение однородного дифференциального уравнения при начальных условиях , .

Характеристическое уравнение имеет два корня: , .

Согласно (1.30) получаем общее решение однородного уравнения:

.

Из начальных условий

,

.

имеем , , а свободное движение

.

2. Находим вынужденное движение как решение неоднородного дифференциального уравнения при условиях , :

а) общее решение однородного уравнения получено в п.1:

;

б) частное решение неоднородного уравнения . Подставляя в неоднородное уравнение, имеем: . Отсюда , ;

в) общее решение неоднородного уравнения:

;

г) подставляя в начальные условия, получаем:

,

.

Отсюда , , а вынужденное движение

.

3. Выходной сигнал определяется по формуле (1.25):

, .

Пример 1.13. Найти свободное и вынужденное движения, а также выход­ной сигнал системы, описываемой уравнением

с начальными условиями , при входном сигнале

.

□ 1. Определяем свободное движение как решение однородного дифференциального уравнения при начальных условиях , .

Характеристическое уравнение имеет два комплексных сопря­женных корня ( , ). Согласно (1.32) получаем общее решение однородного уравнения:

.

Из начальных условий

,

имеем , , а свободное движение

.